Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 6/kontrolle



Die Pausenaufgabe

Auf der linken Tafel ist eine gewisse Anzahl von Äpfeln angemalt. Diese Anzahl soll durch eine Menschenkette in eine Strichfolge auf die rechte Tafel übertragen werden, wobei nur eine Person die Äpfel sehen darf. Es darf nicht gesprochen werden und niemand darf sich von der Stelle bewegen. Ebensowenig darf auf Zählkenntnisse Bezug genommen werden.




Übungsaufgaben

Man mache sich klar, in welcher Weise die in der Vorlesung angeführten Diagramme Abbildungen darstellen.



  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.



Wir betrachten die Mengen

und die Abbildungen und , die durch die Wertetabellen

und

gegeben sind.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Sind die Abbildungen , , injektiv?
  3. Sind die Abbildungen , , surjektiv?



Betrachte auf der Menge die Abbildung

die durch die Wertetabelle

gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.



Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?



Es sei eine endliche Menge und eine Abbildung. Es sei die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen mit gibt.



Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?



Welche bijektiven Funktionen (oder zwischen Teilmengen von ) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?



Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.



Es seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.



In der Planung für einen Laufwettbewerb wurden die folgenden Bahnen vergeben.

Leider wurden und des Dopings überführt und dürfen nicht teilnehmen. In dieser Situation möchte man auf die Außenbahnen und verzichten. Erstelle aus der Nummerierung eine möglichst einfache neue Nummerierung (also eine bijektive Abbildung) für die neue Situation.



Nach dem Mittagessen wollen Frau Maier-Sengupta und Herr Referendar Lutz mit den Kindern eine Bootsfahrt machen, wozu jedes Kind eine Nummer zwischen und braucht. Frau Maier-Sengupta ist vor dem Mittagessen mit einem Teil der Kinder auf dem Spielplatz und verteilt dabei schon mal die Nummern

Beim Abräumdienst nach dem Mittagessen legt Herr Lutz (ohne Rücksprache) folgende Nummern fest

Lucy (L) wollte zwar sagen, dass sie schon eine Nummer hat, doch das wurde von Gabi (G) verhindert. Am Boot entscheidet dann Frau Maier-Sengupta, dass die Spielplatzkinder ihre Spielplatznummern behalten und dass die übrigen Kinder die hinteren Nummern in der von Herrn Lutz vergebenen Reihenfolge bekommen.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für die Bootsnummerierung.
  2. Definiere die Bootsnummerierung als Abbildung durch eine geeignete Fallunterscheidung.



Es seien und Mengen und es sei eine bijektive Abbildung. Zeige: Wenn endlich mit Elementen ist, so ist auch endlich mit Elementen.



Es seien und endliche Teilmengen einer Menge . Zeige, dass dann auch die Vereinigung endlich ist.



Mustafa Müller und Heinz Ngolo haben jeweils mit einer Strichliste ihre Fußballbildchen gezählt. Sie wollen wissen, wer mehr Bildchen hat, die Listen sind aber ziemlich lang und beim Zählen kommen sie durcheinander. Mustafa macht den Vorschlag, in der Liste immer vier Striche durch einen Querstrich zusammenzufassen und dann diese Blöcke zu zählen. Heinz sagt, dass das nicht geht, da so Fünferblöcke entstehen und dadurch das Ergebnis verfälscht wird. Was sagt Gabi Hochster?


In der folgenden Aufgabe bezeichnet die Menge und die Menge . Bestimme diese Mengen für die Heinonummierung aus Beispiel 6.7 für die Menge und .


Es seien und zwei Mengen und eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen. Zeige, dass für jede Teilmenge eine Bijektion vorliegt, und dass ebenso für jede Teilmenge eine Bijektion vorliegt.



Man gebe Beispiele für Abbildungen

derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.



Betrachte die Abbildung

Ist injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?




Aufgaben zum Abgeben

Wir betrachten die Mengen

und die Abbildungen und , die durch die Wertetabellen

und

gegeben sind.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Sind die Abbildungen , , injektiv?
  3. Sind die Abbildungen , , surjektiv?



  1. Kann eine konstante Abbildung bijektiv sein?
  2. Ist die Hintereinanderschaltung einer konstanten Abbildung mit einer beliebigen Abbildung (also die konstante Abbildung zuerst) konstant?
  3. Ist die Hintereinanderschaltung einer beliebigen Abbildung mit einer konstanten Abbildung (also die konstante Abbildung zuletzt) konstant?



Es seien die reellen Zahlen und die nichtnegativen reellen Zahlen. Bestimme für die folgenden Abbildungen, ob sie injektiv und ob sie surjektiv sind.



Es seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.




Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten (Postkasten). Bis Weihnachten. Die Konzepte Tupel, Betrag, Abbildung, Iteration werden bald eingeführt, sind aber vermutlich schon bekannt.


Aufgabe (8 Punkte)Aufgabe 6.24 ändern

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen für nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .