Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 32/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\5x+8y&=&0\,\end{matrix}}

nur die triviale Lösung ${}(0,0)$ besitzt.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

{}{\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z+{\frac {3}{5}}\cdot w=10\,,

{}3\cdot x+5\cdot y+2\cdot z+4\cdot w=30\,

aus Beispiel 31.4.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}$ für das lineare Gleichungssystem

{}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,

aus Beispiel 31.6?

Aufgabe Referenznummer erstellen

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür ${}1,30$ €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür ${}1,60$ €. Mustafa kauft einen Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür einen €. Heinz kauft zwei Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und eine saure Zunge und zahlt dafür ${}1,70$ €. Wie viel kostet ein Schokoriegel, eine Packung Brausepulver, eine saure Zunge?

Benötigt man die volle Information, um dies herauszufinden?

Es sei der Einkauf von Gabi und von Lucy bekannt, ferner sei bekannt, dass Lucys kleine Schwester Veronika für drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen einen Euro zahlt. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?

Aufgabe Referenznummer erstellen

In einer Familie leben ${}M,P,S$ und ${}T$ . Dabei ist ${}M$ dreimal so alt wie ${}S$ und ${}T$ zusammen, ${}M$ ist älter als ${}P$ und ${}S$ ist älter als ${}T$ , wobei der Altersunterschied von ${}S$ zu ${}T$ doppelt so groß wie der von ${}M$ zu ${}P$ ist. Ferner ist ${}P$ siebenmal so alt wie ${}T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich ${}83$ .

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}x&+2y&+3z&+4w&=&1\\2x&+3y&+4z&+5w&=&7\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&9\\x&+5y&+5z&+w&=&0\,.\end{matrix}}

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass darin der Betrag aller Koeffizienten kleiner als ${}1$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die lineare Gleichung

{}2x+2y=1\,

über ${}\mathbb {Q}$ unendlich viele Lösungen besitzt, aber keine ganzzahlige Lösung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche ganzzahligen Lösungen der Gleichung

{}3x+7y=0\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ gegeben, das eine nichttriviale Lösung besitze. Zeige, dass es auch eine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}5x-7y-4z&=&0\\2x+y-3z&=&0\\7x+6y-2z&=&0\,\end{matrix}}

nur die triviale Lösung ${}(0,0,0)$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bringe das lineare Gleichungssystem

{}3x-4+5y=8z+7x\,,

{}2-4x+z=2y+3x+6\,,

{}4z-3x+2x+3=5x-11y+2z-8\,,

in Standardgestalt und löse es.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}4x+7y+3z&=&4\\11x+9y+13z&=&9\\6x+8y+5z&=&2\,\end{matrix}}

mit dem Einsetzungsverfahren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}5x\,\,\,\,-y+7z&=&6\\3x+6y+3z&=&-2\\8x+8y+7z&=&3\,\end{matrix}}

mit dem Einsetzungsverfahren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}5x+6y+2z&=&6\\4x+8y+9z&=&5\\11x+5y+7z&=&8\,\end{matrix}}

mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ der in Beispiel 11.4 eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in ${}K$ das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}x&+y&&=&1\\&y&+z&=&0\\x&+y&+z&=&0\,.\end{matrix}}

In den folgenden vier Aufgaben geht es im Sinne von Bemerkung 32.9 insbesondere darum, ein für die Aufgabenstellung angemessenes Lösungsverfahren zu finden und durchzuführen.