Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha }
{ = }{ { \frac{ 360 }{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Betrachte die Untergruppe der \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} \operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\ \operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \, \alpha \end{pmatrix}^{j} \mid j = 0 , \ldots , n-1 \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Gruppe, aufgefasst in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} \definitionsverweis {konjugiert}{}{} zu $Z_n$ aus Beispiel 23.1 ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Untergruppe der \definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[ X_1 , \ldots , X_n]^G }
{ =} {K[ X_1 , \ldots , X_n] \cap L[ X_1 , \ldots , X_n]^G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Untergruppe der \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{,} die durch die Vierteldrehung
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
erzeugt wird. Bestimme den reellen und den komplexen \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} zur zugehörigen \definitionsverweis {linearen Operation}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zu einer \definitionsverweis {speziellen unitären Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & - \overline{v} \\ v & \overline{u} \end{pmatrix} \in \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }} { }
die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu einer \definitionsverweis {speziellen unitären Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & - \overline{v} \\ v & \overline{u} \end{pmatrix} \in \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }} { }
die beiden \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{,} aufgefasst in
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \cong S^2}{,} \definitionsverweis {antipodal}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu einer \definitionsverweis {diagonalisierbaren Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & v \\ w & z \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }} { }
die beiden \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{,} aufgefasst in
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \cong S^2}{,} nicht \definitionsverweis {antipodal}{}{} sein müssen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, dass die in Vorlesung 24 angegebenen Abbildungen eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} zwischen
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}}}{} und $S^2$ stiften.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einer Menge $M$ \definitionsverweis {operiere}{}{,} und es sei \maabb {\psi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{.} Zeige, dass dann auch eine natürliche Operation von $G$ auf $N$ vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M \in \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} eine \definitionsverweis {spezielle Matrix}{}{} mit der zugehörigen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \cong S^2 } {{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \cong S^2 } {.} Zeige, dass $\varphi$ keine \definitionsverweis {längentreue Abbildung}{}{} und nicht zu einer linearen Abbildung von $\R^3$ nach $\R^3$ fortsetzbar sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2+b^2+c^2+d^2 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, das die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(-ad+bc) & 2( ac+bd) \\ 2(ad+bc) & a^2-b^2+c^2-d^2 & 2(-ab+cd) \\2(-ac+bd) & 2(ab+cd) & a^2-b^2-c^2+d^2 \end{pmatrix}} { }
gleich $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die (komponentenweise) komplexe Konjugation einen Gruppenautomorphismus auf
\mathl{\operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } }{} induziert, der unter der in Satz 24.2 beschriebenen Abbildung \maabbdisp {} { \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } } { \operatorname{SO}_{ 3 } \! { \left( \R \right) } } {,} mit der Konjugation mit
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{} auf
\mathl{\operatorname{SO}_{ 3 } \! { \left( \R \right) } }{} verträglich ist. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation auf
\mathl{\operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } }{} auch als Konjugation mit der Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}{} realisiert werden kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich jede eigentliche \definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{} des $\R^3$ als \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} von Drehungen um die drei \definitionsverweis {Koordinatenachsen}{}{} realisieren lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man die \definitionsverweis {Kleinsche Vierergruppe}{}{} nicht als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} wohl aber als Untergruppe der
\mathl{\operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} realisieren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen \definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mathl{G,H \subseteq \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} die zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{,} aber nicht zueinander \definitionsverweis {konjugiert}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen \definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mathl{G,H \subseteq \operatorname{SL}_{ 3 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} die zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{,} aber nicht zueinander \definitionsverweis {konjugiert}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {binäre Ikosaedergruppe}{}{} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} zur \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_5$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} der Elemente der \definitionsverweis {binären Ikosaedergruppe}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die in Beispiel 23.2, Beispiel 23.3, Beispiel 23.4 und Beispiel 23.5 beschriebenen Gruppen unter dem \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } } { \operatorname{SO}_{ 3 } \! { \left( \R \right) } } {} die Urbildgruppen der entsprechenden reellen Gruppen sind.

}
{} {}