Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 30/latex

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\zwischenueberschrift{Linear reduktive Gruppen}

In den verbleibenden Vorlesungen möchten wir zeigen, dass die Invariantenringe zu algebraischen Operationen der allgemeinen linearen oder der speziellen linearen Gruppe über ${\mathbb C}$ endlich erzeugt sind. Der Schlüsselbegriff für diese Aussage ist die \stichwort {lineare Reduktivität} {,} der eine Eigenschaft sämtlicher Darstellungen der Gruppe ist. Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist einfach ein Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} mit einem $K$-Vektorraum $V$. Wenn $G$ eine \definitionsverweis {affin-algebraische Gruppe}{}{} über einem fixierten Körper $K$ \zusatzklammer {der häufig als algebraisch abgeschlossen angenommen wird} {} {} ist, so interessiert man sich vor allem für Darstellungen in Vektorräume über diesem Körper. Ferner soll die Darstellung algebraisch sein. Diese Forderungen kommen in der folgenden Definition zum Ausdruck.


\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $G$ eine \definitionsverweis {affin-algebraische Gruppe}{}{} über $K$. Unter einer \definitionswortpraemath {K}{ rationalen Darstellung }{} von $G$ versteht man einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} mit einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \zusatzklammer {also eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} von $G$} {} {,} die durch einen $K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebrahomomorphismus}{}{} der \definitionsverweis {Hopf-Algebren}{}{} zu \mathkor {} {G} {bzw.} {\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }} {} induziert wird.

}

Dies ist äquivalent dazu, dass die Operation von $G$ auf $V$, also die Abbildung \maabbdisp {} {G \times V} {V } {,} algebraisch ist, also durch eine \definitionsverweis {Kooperation}{}{} der Hopfalgebra $H$ \zusatzklammer {zu $G$} {} {} auf dem Polynomring
\mathl{K[V]}{} gegeben ist. Man sagt dann auch, dass $G$ auf $V$ $K$-rational operiert.

Für die multiplikative Gruppe
\mathl{K^{\times}}{} ist beispielsweise die Zuordnung \maabbeledisp {} { K^{\times} = \operatorname{GL}_{ 1 } \! { \left( K \right) } } { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } {t} { \begin{pmatrix} t^{a_1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t^{a_2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t^{a_n} \end{pmatrix} } {,} mit
\mathl{a_j \in \Z}{} eine $K$-rationale Darstellung, für die additive Gruppe
\mathl{K}{} ist beispielsweise die Zuordnung \maabbeledisp {} { K } { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( K \right) } } {t} { \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } {,} eine solche.

Zur Formulierung der linearen Reduktivität brauchen wir noch einige weitere Begriffe aus der Darstellungstheorie.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} \maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ heißt \definitionswort {irreduzibel}{,} wenn
\mathl{V \neq 0}{} ist und wenn die einzigen $G$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorräume}{}{} \mathkor {} {0} {und} {V} {} sind.

}




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} \maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ heißt \definitionswort {vollständig reduzibel}{,} wenn
\mathl{V}{} die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} aus $G$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorräumen}{}{} ist, die jeweils \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} sind.

}

Zwei Darstellungen \maabbdisp {\rho_1} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V_1 \right) } } {} und \maabbdisp {\rho_2} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V_2 \right) } } {} heißen \stichwort {äquivalent} {,} wenn es eine bijektive $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V_1} {V_2 } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho_2 }
{ = }{\varphi \circ \rho_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt \zusatzklammer {wobei $\varphi$ als Isomorphismus zwischen den allgemeinen linearen Gruppen aufgefasst wird} {} {.}




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {affin-algebraische Gruppe}{}{} $G$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {linear reduktiv}{,} wenn jede $K$-\definitionsverweis {rationale Darstellung}{}{} von $G$ \definitionsverweis {vollständig reduzibel}{}{} ist.

}

Wir werden später sehen, dass die allgemeine lineare Gruppe über ${\mathbb C}$ linear reduktiv ist, was auf maßtheoretischen Methoden beruht. Zunächst wenden wir uns endlichen \zusatzklammer {nichtmodularen} {} {} Gruppen und kommutativen Gruppen zu, die ebenfalls linear reduktiv sind.






\zwischenueberschrift{Lineare Reduktivität von endlichen Gruppen}

Wir brauchen zunächst das folgende einfache Lemma.




\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf den beiden $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {linear operiere}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} eine $G$-\definitionsverweis {verträgliche}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist sowohl
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} als auch
\mathl{\operatorname{bild} \varphi}{} $G$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der Verträglichkeit von $\varphi$ mit den Gruppenoperationen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (gv) }
{ =} { g( \varphi(v)) }
{ =} { g(0) }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gv }
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Kern ist invariant. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ \operatorname{bild} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w }
{ = }{\varphi(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ist wiederum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (gv) }
{ =} { g( \varphi(v)) }
{ =} { g(w) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gv }
{ \in }{ \operatorname{bild} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und das Bild ist ebenfalls invariant.

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Heinrich Maschke.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Heinrich Maschke (1853-1908)} }

\bildlizenz { Heinrich Maschke.jpg } {} {Hermannthomas} {Commons} {PD} {}

Die folgenden Aussagen heißen \stichwort {Lemma von Maschke} {} bzw. \stichwort {Satz von Maschke} {.}




\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,} deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} kein Vielfaches der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von $K$ sei. Es sei \maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} in einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und
\mathl{U \subseteq V}{} ein $G$-\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen $G$-invarianten Untervektorraum
\mathl{W \subseteq V}{} mit
\mathl{V=U \oplus W}{}\zusatzfussnote {Einen solchen Unterraum nennt man ein $G$-\stichwort {invariantes Komplement} {} von $U$} {.} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund des Basisergänzungssatzes kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ U \oplus W' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem $K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W'$ schreiben, und man hat eine Projektion \zusatzklammer {längs $W'$} {} {} \maabbdisp {\pi} {V} {U } {} mit
\mathl{\pi \circ \iota = \operatorname{Id}_{ U }}{,} wobei $\iota$ die Einbettung
\mathl{U \subseteq W}{} bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung \zusatzklammer {mit
\mathl{n= \operatorname {ord} { { \left( G \right) } }}{;} dies ist eine Einheit in $K$} {} {} \maabbeledisp {\psi} {V} {V } {v} {{ \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} g^{-1}( \pi ( g(v))) } {.} Für
\mathl{u \in U}{} ist \zusatzklammer {wegen \mathlk{g(u) \in U}{} und da $\pi$ auf $U$ die Identität ist} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\psi(u) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} g^{-1}( \pi ( g(u))) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} g^{-1}( g(u)) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} u }
{ =} {u }
} {} {}{} und das Bild von $\psi$ ist gleich $U$, d.h. $\psi$ ist ebenfalls eine Projektion auf $U$. Allerdings ist diese Projektion zusätzlich $G$-\definitionsverweis {verträglich}{}{.} Für
\mathl{h \in G}{} ist nämlich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \psi (hv) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{g \in G} g^{-1}( \pi ( g(hv ))) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{f \in G} (hf^{-1}) ( \pi ( f(v ))) }
{ =} {h { \left( { \frac{ 1 }{ n } } \sum_{f \in G} f^{-1} ( \pi ( f(v ))) \right) } }
{ =} { h { \left( \psi (v) \right) } }
} {} {}{.} Wir setzen nun
\mathl{W \defeq \operatorname{kern} \psi}{.} Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist $W$ nach Lemma 30.5 ebenfalls $G$-invariant, und es ist offenbar
\mathl{V= U \oplus W}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppe/Darstellung/Satz von Maschke/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,} deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} kein Vielfaches der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von $K$ sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $G$ \definitionsverweis {linear reduktiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei \maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} von $G$. Wir müssen zeigen, dass die Darstellung \definitionsverweis {vollständig reduzibel}{}{} ist, also eine direkte Summe aus \definitionsverweis {irreduziblen Darstellungen}{}{} ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$. Bei
\mathl{\dim_{ K } { \left( V \right) }=0,1}{} ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten $G$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subset V}{.} Dieser hat nach Lemma 30.6 ein $G$-invariantes Komplement
\mathl{W \subseteq V}{.} Nach Induktionsvoraussetzung besitzen \mathkor {} {U} {und} {W} {} eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf $V$.

}






\zwischenueberschrift{Darstellungstheorie kommutativer Gruppen}

Kommutative besitzen eine einfachere Darstellungstheorie, da nur eindimensionale Darstellungen irreduzibel sind. Dies ergibt sich aus dem sogenannten \stichwort {Lemma von Schur} {} \zusatzklammer {der nächsten Aussage} {} {.} Die Konsequenzen für die kommutativen affin-algebraischen Gruppen \zusatzklammer {beispielsweise die multiplikative und die additive Gruppe} {} {} sind aber unterschiedlich.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schur.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Issai Schur (1875-1941)} }

\bildlizenz { Schur.jpg } {} {Sodin} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}





\inputfaktbeweis
{Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Lemma von Schur/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und seien $V_1,V_2$ zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} mit zwei gegebenen \definitionsverweis {irreduziblen Darstellungen}{}{} \maabb {\rho_1} { G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V_1 \right) } } {} und \maabb {\rho_2} { G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V_2 \right) } } {.} Es sei \maabb {\varphi} {V_1} {V_2 } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma_2 \circ \varphi }
{ =} { \varphi \circ \sigma_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{\sigma \in G}{,} wobei
\mathl{\sigma_i}{} den zu $\sigma$ gehörenden Automorphismus auf $V_i$ bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{\varphi=0}{} oder aber $\varphi$ definiert eine \definitionsverweis {Äquivalenz}{}{} der beiden Darstellungen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir müssen zeigen, dass $\varphi$ ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \defeq }{ \operatorname{kern} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Lemma 30.5 ist $U$ $G$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} Wegen der Irreduzibilität von $\rho_1$ ist \mathkor {} {U=0} {oder} {U=V_1} {,} wobei die zweite Möglichkeit wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist nach Lemma 11.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{.} Es sei jetzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W }
{ \defeq }{ \operatorname{bild} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Lemma 30.5 ist $W$ ebenfalls $G$-invariant. Der Fall
\mathl{W=0}{} ist wegen
\mathl{\varphi\neq 0}{} ausgeschlossen, also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ = }{ V_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wegen der Irreduzibilität von $\rho_2$ und somit ist $\varphi$ auch \definitionsverweis {surjektiv}{}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Gleicher Raum/Lemma von Schur/Homothetie/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,} $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabb {\rho} { G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} eine \definitionsverweis {irreduzible Darstellung}{}{} und es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma \circ \varphi }
{ =} { \varphi \circ \sigma }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{\sigma \in G}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ eine \definitionsverweis {Streckung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund der Voraussetzung an $K$ besitzt $\varphi$ einen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$. Wir betrachten
\mathl{\varphi-\lambda \operatorname{Id}_{ V }}{.} Da eine Streckung mit jedem Endomorphismus vertauscht, gilt für
\mathl{\varphi - \lambda \operatorname{Id}_{ V }}{} ebenfalls die Voraussetzung. Nach Lemma 30.8 ist also
\mathl{\varphi - \lambda \operatorname{Id}_{ V }}{} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} oder gleich $0$. Da es einen nichttrivialen Kern \zusatzklammer {nämlich den \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} zu $\lambda$} {} {} besitzt, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi - \lambda \operatorname{Id}_{ V } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein, also ist $\varphi$ ein skalares Vielfaches der Identität.

}





\inputfaktbeweis
{Kommutative Gruppe/Irreduzible Darstellung/Eindimensional/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jede \definitionsverweis {irreduzible Darstellung}{}{} von $G$ in einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} eindimensional.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei \maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} eine \definitionsverweis {irreduzible Darstellung}{}{.} Wegen der Kommutativität von $G$ gilt für die zu
\mathl{\sigma, \tau \in G}{} gehörenden linearen Abbildungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sigma \circ \tau }
{ =} { \tau \circ \sigma }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus Korollar 30.9, angewandt für festes $\tau$ und alle $\sigma$, folgt, dass $\tau$ eine \definitionsverweis {Streckung}{}{} ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum \definitionsverweis {invariant}{}{,} sodass in diesem Fall jeder Untervektorraum $G$-\definitionsverweis {invariant}{}{} ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität $V$ eindimensional sein.

}




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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)