Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 31
- Invariantenringe bei linear reduktiver Gruppe
Wir möchten zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe ein direkter Summand ist, woraus folgt, dass er endlich erzeugt ist. Wir beginnen mit äquivalenten Charakterisierungen von linear reduktiv.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine affin-algebraische Gruppe über . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist linear reduktiv.
- Zu jeder - rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum besitzt ein eindeutig bestimmtes - Komplement . Dabei gilt .
- Zu jeder - rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und jedem , , gibt es eine - invariante Linearform mit .
- Zu jeder - rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und jedem - Untervektorraum gibt es ein - Komplement.
. Es sei die Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Wegen der Irreduzibilität ist gleich oder gleich , daher ist (nach Umordnung) . Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also bilden ein -invariantes Komplement. Wenn ein solches -Komplement ist, so gilt wieder oder . Bei für ein würde die Dimension von zu klein werden, also muss sein. Den Zusatz kann man für die an beteiligten getrennt beweisen. Es sei also
eine
-
invariante Linearform.
Bei und wäre der Kern ein echter -invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von . Bei und wäre eine Bijektion, und dann müsste auf identisch wirken.
. Wir betrachten die
lineare Projektion
zur Zerlegung mit dem -invarianten Komplement . Dabei ist und dazu gibt es eine Linearform
mit . Die Linearform ist -verträglich und leistet das Gewünschte.
. Es sei zunächst irreduzibel. Die Räume
und
sind
dual
zueinander, und zwar über die Beziehung
Dabei ist ein Endomorphismus auf . Wir fassen die Inklusion als eine -invariante lineare Abbildung, also als ein Element in , auf. Nach , angewendet auf dieses Element, muss es ein -invariantes mit geben, was bedeutet. Die lineare Abbildung
ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist -invariant als Verknüpfung von zwei -invarianten linearen Abbildungen. Nach Korollar 30.9 ist eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist eine -invariante Projektion auf und daher ist
Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von . Es sei
ein -invarianter irreduzibler Untervektorraum. Nach der Vorüberlegung ist , wobei ebenfalls -invariant ist. Es ist dann
Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist
mit einem -invarianten Untervektorraum
und daher ist
. Induktion über die Dimension von .
Wir wollen zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe auf einer
-
Algebra von endlichem Typ
ein
direkter Summand
ist, wobei wir
Satz 31.1
auf geeignete
endlichdimensionale
-
Untervektorräume
anwenden wollen. Dazu müssen wir zunächst sicherstellen, dass jedes in einem endlichdimensionalen -Untervektorraum liegt. Es sei ein
affines Gruppenschema
zu einer endlich erzeugten
-
Hopf-Algebra
. Die Operation von auf , dem Spektrum einer
endlich erzeugten
-
Algebra,
ist äquivalent zu einem Ringhomomorphismus
(der
Kooperation)
(mit bestimmten Eigenschaften). Für ein kann man dabei
mit und schreiben. Die Operation des - Spektrums von auf ist folgendermaßen gegeben: Ein Gruppenelement , also ein - Algebrahomomorphismus
schickt eine Funktion auf
Es wird also die Hintereinanderschaltung
betrachtet.
Es sei ein Körper, ein affines Gruppenschema über und
eine - algebraische Operation von auf einem affinen Schema , wobei eine kommutative - Algebra sei.
Dann liegt jedes in einem endlichdimensionalen - invarianten - Untervektorraum von .
Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den - Algebrahomomorphismus
wobei die Hopf-Algebra zu sei. Es sei
mit und . Für jedes ist
d.h. diese liegen alle in dem von erzeugten - Untervektorraum von . Der von all diesen , , erzeugte Untervektorraum ist also - invariant und endlichdimensional.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einer endlich erzeugten - Algebra algebraisch operiere.
Dann ist ein direkter Summand.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Untervektorraum.
Nach Satz 31.1 (2)
ist mit einem
-
Komplement,
das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches
gilt.
Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei
eine Reynolds-Abbildung. Nach Lemma 31.2 gibt es zu jedem einen endlichdimensionalen - Untervektorraum mit . Wegen der - Invarianz von ist und die Einschränkung ist die Identität auf . Ferner ist . Bei , , könnte man nämlich mit Hilfe einer -linearen Abbildung
mit eine Linearform auf , nämlich , angeben, die zu gehört. Dadurch ist auf eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu
gemäß Lemma 31.2
einen endlichdimensionalen
-
Untervektorraum
und setzen
wobei
die Projektion von auf längs des -Komplementes von in bezeichnet. Dabei ist unabhängig von der Wahl von . Zu einem anderen ist nämlich . Um dies zu zeigen kann man annehmen. Aus ergibt sich durch Schneiden mit sofort eine Zerlegung von , die wegen der Eindeutigkeit mit übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte -lineare Abbildung
Zu ist natürlich (für einen gewählten Unterraum) und somit ist die Einschränkung von auf die Identität. Für ein Gruppenelement und kann man mit dem gleichen Untervektorraum berechnen. Es sei die Zerlegung von in der direkten Zerlegung
Die Zerlegung von hat dann die Form , da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist
und ist in der Tat eine Reynolds-Abbildung.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum - rational operiere.
Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte - Algebra.
Dies folgt aus Satz 31.3 und aus Korollar 12.7 (die Homogenitätsvoraussetzung ist erfüllt).
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einer endlich erzeugten - Algebra - algebraisch operiere.
Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte - Algebra.
Es sei ein - Algebraerzeugendensystem von . Nach Lemma 31.2 gibt es einen endlichdimensionalen - Untervektorraum , der - invariant ist. Es sei der zum Vektorraum gehörende Polynomring, auf dem linear operiert. Es ist
ein surjektiver - Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von verträglich ist. Zu einem invarianten Element gibt es ein , das auf abbildet. Wiederum nach Lemma 31.2 gibt es einen endlichdimensionalen -invarianten Untervektorraum mit . Dann ist ebenfalls -invariant und nach Aufgabe 31.5, angewandt auf
gibt es auch ein -invariantes , das auf abbildet. Es ist also
ebenfalls surjektiv. Nach Satz 31.4 ist und somit endlich erzeugt.
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