Kurs:Körper- und Galoistheorie/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	6	1	3	3	3	0	7	0	7	0	0	4	1	0	3	44

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine quadratische Körpererweiterung.
2. Ein Integritätsbereich.
3. Die formale Ableitung eines Polynoms ${}F\in K[X]$.
4. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe ${}G$.
5. Eine einfache Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
6. Der Fixkörper zu einer Untergruppe ${}H$ der Automorphismengruppe eines Körpers ${}L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Zerlegungssatz für Polynome ${}F\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
2. Der Satz über die Charakterisierung von separablen Polynomen.
3. Der Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}H\subseteq Z$ eine Untergruppe des Zentrums von ${}G$. Zeige, dass ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)$ das Inverse von ${}3x+4$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe * (3 Punkte)

Das Polynom ${}F=X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen von ${}F$ sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl, ${}q=p^{e}$ mit ${}e\geq 1$ und sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der Körper mit ${}q$ Elementen und ${}R={\mathbb {F} }_{q}[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ endlich ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (3+1+3) Punkte)

Es sei ${}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.$

1. Bestimme das Minimalpolynom von ${}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}$.
2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich ${}3$ ist.
3. Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht ${}L$ in ${}L$ überführt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz von Artin über Fixkörper.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad ${}4$ an, das in ${}{\mathbb {C} }$ genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die ${}S_{4}$ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

${}z^{2}+pz+q=0\,$

eine quadratische Gleichung mit ${}p,q\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden

${}x+y=-p\,$

und des Kreises

${}x^{2}+y^{2}=p^{2}-2q\,$

die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht möglich ist.