Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{p \in R}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{.} Zeige, dass $p$ auch im Polynomring
\mathl{R[X]}{} prim ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{F,G \in \Z[X]}{} \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mathl{F=GH}{} ist mit
\mathl{H \in \Q[X]}{.} Zeige, dass
\mathl{H \in \Z[X]}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die Werte der \definitionsverweis {eulerschen Funktion}{}{}
\mathl{{\varphi (n)}}{} für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq} { 20 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {Man diskutiere dabei auch die Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes, siehe Anhang 4.}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Schreibe den $5$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mathl{K_{ 5 }}{} als \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{} von
\mathl{\Q[\sqrt{5}]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N}{} ungerade. Zeige, dass der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} mit dem $2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{} $\Phi_{n}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \leq }{15 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

Über einem beliebigen Körper $K$ werden Kreisteilungskörper folgendermaßen definiert.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Der $n$-te \definitionswort {Kreisteilungskörper über $K$ }{} ist der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} des Polynoms
\mathdisp {X^n-1} { }
über $K$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathbed {q=p^e} {}
{e \geq 1} {}
{} {} {} {,} eine Primzahlpotenz. Zeige, dass der
\mathl{(q-1)}{-}te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über ${\mathbb F}_p$ gleich ${\mathbb F}_q$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {x^6-5x^5+11x^4-13x^3+9x^2-3x+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $P$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Q[X]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in
\mathl{\Q[x,y]}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} sind.

a)
\mathl{y^4+ 3 x^2 y^2 + 4 x^7 y + 2 x}{.}

b)
\mathl{y^6 + 3 x y^4 + 3 x^2 y^2 + x^3}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{} $\varphi$ für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (\operatorname{ggT} (m,n))} \cdot {\varphi ( \operatorname{kgV} (m,n))} }
{ =} { {\varphi (n)} \cdot {\varphi (m)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\varphi (n)}$ die \definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi (n)} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} sowohl in \mathkor {} {1} {als auch in} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {} einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die \stichwort {eulersche Formel} {} für die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{,} das ist die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)} }
{ =} { n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-{ \frac{ 1 }{ p } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom
\mathl{X^4 + 1}{} über allen endlichen Primkörpern
\mathl{\mathbb{F}_p}{} reduzibel ist.

}
{} {Hinweis: Zeige, dass
\mathl{\mathbb{F}_{p^2}}{} für
\mathl{p \neq 2}{} bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und $n$ eine natürliche Zahl, die wir als
\mathl{n=kp^a}{} schreiben mit \mathkor {} {k} {und} {p} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über ${\mathbb F}_p$ gleich ${\mathbb F}_{q}$ ist \zusatzklammer {mit \mathlk{q=p^e}{}} {} {,} wobei $q$ die minimale echte Potenz von $p$ mit der Eigenschaft ist, dass
\mathl{q-1}{} ein Vielfaches von $k$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches $q$ gibt.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe ist eine Kollektivaufgabe, die auf Wikiversity bearbeitet werden soll.


\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen $p$ und für
\mathl{n=1 , \ldots , 12}{} angibt, welcher \definitionsverweis {endliche Körper}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{p^e}}{} der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über ${\mathbb F}_p$ ist.

}
{(Man trage die Exponenten $e$ ein; es empfiehlt sich zur Probe, die Zeilen und Spalten unabhängig voneinander durchzurechnen.)} {}

\matabellezwoelfzwoelf {\listedreiund { p } {\listesechsmaund { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } { 6 } } {\listesechsmaund { 7 } { 8 } { 9 } { 10 } { 11 } { 12 } } } {\listesechsbruch {\listedreiund { 2 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 4 } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { }{ } } } {\listedreiund { 3 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

} } }

{\listedreiund { 5 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

} } }

{\listedreiund { 7 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

} } }

{\listedreiund { 11 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

} } } {\listedreiund { 13 }  {\listesechsmaund {  1 } {  } {  } {  } {  } {  } } {\listesechsmaund {  } {  } {  } {  } {  } { 
} } } } 

{\listesechsbruch {\listedreiund { 17 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

}  }  } {\listedreiund { 19 }  {\listesechsmaund {  1 } {  } {  } {  } {  } {  }  } {\listesechsmaund {  } {  } {  } {  } {  } { 
}    }   }

{\listedreiund { 23 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

}    }   }

{\listedreiund { 29 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

}    }   }

{\listedreiund { 31 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

}    }   }

{\listedreiund { 37 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } {

}    }   }

}