Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 5/latex
\setcounter{section}{5}
In dieser Vorlesung diskutieren wir Normalteiler, das sind Untergruppen, für die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Für Normalteiler kann man Restklassengruppen konstruieren.
\zwischenueberschrift{Innere Automorphismen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
fixiert. Die durch $g$ definierte Abbildung
\maabbeledisp {\kappa_g} {G} {G
} {x} {gxg^{-1}
} {,}
heißt \definitionswort {innerer Automorphismus}{.}
}
Eine solche Abbildung nennt man auch \stichwort {Konjugation} {} \zusatzklammer {mit $g$} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Innerer Automorphismus/Ist Automorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein
\definitionsverweis {innerer Automorphismus}{}{}
ist in der Tat}
\faktfolgerung {ein Automorphismus.}
\faktzusatz {Die Zuordnung
\maabbeledisp {} { G } { \operatorname{Aut} \, G
} { g } { \kappa_g
} {,}
ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\kappa_g(xy)
}
{ =} {gxyg^{-1}
}
{ =} {gxg^{-1}gyg^{-1}
}
{ =} {\kappa_g(x) \kappa_g(y)
}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
vorliegt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \kappa_g (\kappa_h(x))
}
{ =} { \kappa_g (hxh^{-1})
}
{ =} { ghxh^{-1}g^{-1}
}
{ =} { ghx (gh)^{-1}
}
{ =} { \kappa_{gh}
}
}
{}{}{}
ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \kappa_{g^{-1} } \circ \kappa_g
}
{ =} { \kappa_{g^{-1} g}
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ G }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass $\kappa_g$ bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung $\kappa$ ein Gruppenhomomorphismus.
Wenn $G$ eine kommutative Gruppe ist, so ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gxg^{-1}
}
{ = }{xgg^{-1}
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Identität der einzige innere Automorphismus. Der Begriff ist also nur bei nicht kommutativen Gruppen von Interesse.
\zwischenueberschrift{Normalteiler}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Man nennt $H$ einen \definitionswort {Normalteiler}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xH
}
{ =} {Hx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wenn also die
\definitionsverweis {Linksnebenklasse}{}{}
zu $x$ mit der Rechtsnebenklasse zu $x$ übereinstimmt.
}
Bei einem Normalteiler braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen zu unterscheiden und spricht einfach von \stichwort {Nebenklassen} {.} Statt
\mathkor {} {xH} {oder} {Hx} {}
schreiben wir meistens $[x]$. Die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xH
}
{ = }{Hx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet
\betonung{nicht}{,} dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xh
}
{ = }{hx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, sondern lediglich, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{h}
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xh
}
{ = }{\tilde{h}x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
gibt.
\inputfaktbeweis
{Normalteiler/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{$H$ ist ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
von $G$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xhx^{-1}
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {x \in G} {und} {h \in H} {.}
}{$H$ ist invariant unter jedem
\definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{}
von $G$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) bedeutet bei gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xh
}
{ = }{\tilde{h}x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{h}
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann. Durch Multiplikation mit $x^{-1}$ von rechts ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xhx^{-1}
}
{ = }{\tilde{h}
}
{ \in }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also $(2)$. Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation $(2) \Rightarrow (1)$. Ferner ist $(2)$ eine explizite Umformulierung von $(3)$.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer dreielementigen Menge, d.h. $S_3$ besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge
\mathl{\{1,2,3\}}{} in sich. Die triviale Gruppe $\{ \operatorname{id} \}$ und die ganze Gruppe sind
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ \{ \operatorname{id} \, , \varphi \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $\varphi$ die Elemente
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
vertauscht und $3$ unverändert lässt, ist eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei $\psi$ die Bijektion, die $1$ fest lässt und
\mathkor {} {2} {und} {3} {} vertauscht. Dieses $\psi$ ist zu sich selbst invers. Die
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \varphi \psi^{-1}
}
{ = }{ \psi \varphi \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann die Abbildung, die
\mathkor {} {1} {auf} {3} {,}
\mathkor {} {2} {auf} {2} {}
und
\mathkor {} {3} {auf} {1} {}
schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu $H$.
}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Kern/Normalteiler/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
liegt aufgrund von
Fakt *****
vor. Wir verwenden
Lemma 5.4.
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( xh x^{-1} \right) }
}
{ =} { \varphi(x) \varphi(h) \varphi { \left( x^{-1} \right) }
}
{ =} { \varphi(x) e_H\varphi { \left( x^{-1} \right) }
}
{ =} { \varphi(x) \varphi(x)^{-1}
}
{ =} { e_H
}
}
{}{}{,}
also gehört
\mathl{xh x^{-1}}{} ebenfalls zum Kern.
\zwischenueberschrift{Restklassenbildung}
Wir zeigen nun umgekehrt, dass jeder Normalteiler sich als Kern eines geeigneten, surjektiven Gruppenhomomorphismus realisieren lässt.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Coset_multiplication.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Multiplikation der Nebenklassen zu einem Normalteiler
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}} }
\bildlizenz { Coset multiplication.svg } {} {Cronholm 144} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputfaktbeweis
{Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Es sei
\mathl{G/H}{} die Menge der
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
\zusatzklammer {die Quotientenmenge} {} {}
und
\maabbeledisp {q} { G } { G/H
} { g } { [g]
} {,}
die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf
\mathl{G/H}{} derart, dass $q$ ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [x] [y]
}
{ =} { [xy]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf
\mathl{G/H}{} definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für
\mathkon { [x]=[x'] } { und } { [y]=[y'] }{ }
zu zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[xy]
}
{ = }{[x'y']
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Nach Voraussetzung können wir
\mathkon { x'=xh } { und } { hy'= \tilde{h} y=yh' }{ }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h, \tilde{h}, h'
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x'y'
}
{ =} { (xh)y'
}
{ =} { x(hy')
}
{ =} { x(yh')
}
{ =} { xyh'
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [xy]
}
{ = }{ [x'y']
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf
\mathl{G/H}{} folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mathdisp {G/H} { }
mit der aufgrund von
Satz 5.7
eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt \definitionswort {Restklassengruppe von }{} $G$ \definitionswort {modulo}{} $H$. Die Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [g]
}
{ \in }{ G/H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \definitionswort {Restklassen}{.} Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element
\mathkor {} {g' \in G} {mit} {[g'] = [g]} {}
ein \definitionswort {Repräsentant}{} von $[g]$.
}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
der ganzen Zahlen sind nach
Satz 3.2 (Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009))
von der Form
\zusatzklammer {diese Aussage ist analog zu der in Vorlesung 3 bewiesenen Aussage, dass
\mathl{K[X]}{} ein Hauptidealbereich ist} {} {}
\mathkor {} {\Z n} {mit} {n \geq 0} {.}
Die
\definitionsverweis {Restklassengruppen}{}{}
werden mit
\mathdisp {\Z/(n)} { }
bezeichnet
\zusatzklammer {sprich \anfuehrung{$\Z$ modulo $n$}{}} {} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das einfach $\Z$ selbst, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das die
\definitionsverweis {triviale Gruppe}{}{.}
Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe $\Z n$ definierte Äquivalenzrelation auf $\Z$ dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz
\mathl{a-b}{} zu $\Z n$ gehört, also ein Vielfaches von $n$ ist. Daher ist
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
jede ganze Zahl zu genau einer der $n$ Zahlen
\mathdisp {0,1,2 , \ldots , n-1} { }
äquivalent
\zusatzklammer {oder, wie man auch sagt, \stichwort {kongruent modulo $n$} {}} {} {,}
nämlich zum Rest, der sich bei Division durch $n$ ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt $n$ Elemente. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung
\maabbeledisp {} { \Z } { \Z/(n)
} { a } { [a] = a \! \! \! \mod n
} {,}
ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt\zusatzfussnote {Dies gilt auch für das Produkt von zwei Zahlen, was bedeutet, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist} {.} {.}
Als Bild der
Eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ heißt \definitionswort {zyklisch}{,} wenn sie von einem Element erzeugt wird.
$\Z$ ist auch
\mathl{\Z/(n)}{} zyklisch, und zwar ist $1$
\zusatzklammer {aber auch $-1$} {} {}
stets ein Erzeuger.
}
\zwischenueberschrift{Die Homomorphiesätze für Gruppen}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G, Q} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{,}
es sei
\maabb {\varphi} {G} { H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
und
\maabb {\psi} {G} {Q
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
Gruppenhomomorphismus.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {Q } {H
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {Mit anderen Worten: das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}G & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & H & \\ \!\!\! \!\! \psi \downarrow & \nearrow \tilde{\varphi} \!\!\! \!\! & \\ Q & & & & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
ist kommutativ.}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit.\leerzeichen{}}{}{}
{Für jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es mindestens ein
\mathkor {} {g \in G} {mit} {\psi (g)=u} {.}
Wegen der Kommutativität des Diagramms muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (u)
}
{ =} {\varphi(g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein $\tilde{\varphi}$ geben kann.}
{}
\teilbeweis {Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es seien also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,g'
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Urbilder von $u$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi { \left( g' g^{-1} \right) }
}
{ =} { u u^{-1}
}
{ =} { e_Q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g'g^{-1}
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(g)
}
{ = }{ \varphi(g')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Urbilder davon. Dann ist $gh$ ein Urbild von $uv$ und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (uv)
}
{ =} { \varphi(gh)
}
{ =} { \varphi(g) \varphi (h)
}
{ =} { \tilde{\varphi} (u) \tilde{\varphi} (v)
}
{ } {}
}
{}{}{.}
D.h. $\tilde{\varphi}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.}
{}
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt
\definitionswortenp{induzierte Abbildung}{} oder
\definitionswortenp{induzierter Homomorphismus}{} und entsprechend heißt der Satz auch
\stichwort{Satz vom induzierten Homomorphismus}{.}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {G/ \operatorname{kern} \varphi } {H
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir wenden
Satz 5.10
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ G/ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{}
\maabb {q} {G} {G/\operatorname{kern} \varphi
} {}
an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {G/\operatorname{kern} \varphi } {H
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der surjektiv ist. Sei
\mathkor {} {[x] \in G/\operatorname{kern} \varphi} {und} {[x] \in \operatorname{kern} \tilde{\varphi}} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} ([x])
}
{ =} { \varphi(x)
}
{ =} { e_H
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x]
}
{ = }{ e_Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. der Kern von $\tilde{\varphi}$ ist trivial und nach
Lemma 4.9
ist $\tilde{\varphi}$ auch injektiv.
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
\mathdisp {G \stackrel{q}{\longrightarrow} G/ \operatorname{kern} \varphi \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \operatorname{bild} \varphi \stackrel{\iota} {\hookrightarrow} H} { , }
wobei $q$ die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{,}
$\theta$ ein
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
und $\iota$ die kanonische Inklusion der
\definitionsverweis {Bildgruppe}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Korollar 5.11,
angewandt auf die Bildgruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:
\einrueckung{
\betonung{Bild $=$ Urbild modulo Kern}{.}}
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Isomorphiesatz für Restklassengruppen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{} mit der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{G/N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiterer Normalteiler in $G$, der $N$ umfasst.}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
$\overline{H}$ von $H$ in $Q$ ein Normalteiler und es gilt die kanonische
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G/H
}
{ \cong} { Q/ \overline{H}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für die erste Aussage siehe
Aufgabe 5.12.
Damit ist die Restklassengruppe
\mathl{Q/\overline{H}}{} wohldefiniert. Wir betrachten die Komposition
\mathdisp {p \circ q : G \longrightarrow Q \longrightarrow Q/\overline{H}} { . }
Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{kern} \left( p \circ q \right)
}
{ =} { { \left\{ x \in G \mid (p \circ q) (x) = e \right\} }
}
{ =} { { \left\{ x \in G \mid q (x) \in \operatorname{kern} p \right\} }
}
{ =} { { \left\{ x \in G \mid q (x) \in \overline{H} \right\} }
}
{ =} {H
}
}
{}
{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \left( p \circ q \right)
}
{ = }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ergibt
Korollar 5.11
die kanonische Isomorphie
\maabbdisp {} {G/H} {Q/\overline{H}
} {.}
Kurz gesagt ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G/H
}
{ =} { (G/N)/(H/N)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
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