Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Die normale Hülle}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {algebraische Körpererweiterung}{}{.} Man nennt einen Körper $N$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionswort {normale Hülle}{} von $L$ über $K$, wenn $N$ der
\definitionsverweis {gemeinsame Zerfällungskörper}{}{}
aller
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{}
von Elementen aus $L$ ist.
}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Normale Hülle/Existiert/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann existiert die
\definitionsverweis {normale Hülle}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} die zugehörigen
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{P_1 \cdots P_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und es sei $N$ der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $P$ über $L$. Nach
Satz 15.7
ist die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {normal}{}{.}
\zwischenueberschrift{Auflösbare Körpererweiterungen}
Wir kommen nun zu einer Ausgangsfrage der Galoistheorie zurück, nämlich zur Frage, ob man für jedes gegebene Polynom
\mathl{P \in \Q[X]}{} eine Kette von
\definitionsverweis {einfachen Radikalerweiterungen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K_1
}
{ \subseteq \ldots \subseteq }{ K_n
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
}
{}{}{}
finden kann, so dass $K$ die Nullstellen von $P$ enthält. Dies ist die körpertheoretische Variante der Frage, ob es entsprechend zur Lösungsformel von Cardano auch für höhere Grade eine Lösung mit Radikalen gibt. Diese Fragestellung führt zu den folgenden Begriffen.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {auflösbar}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{F\in K[X]}{} ein Polynom. Man sagt, dass das Polynom $F$ \definitionswort {auflösbar}{} ist
\zusatzklammer {bzw., dass die Gleichung
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{F(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionswort {auflösbar}{} ist} {} {,}
wenn die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{Z(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
ist.
}
Wir erinnern daran, dass eine Radikalerweiterung aus einer Kette von einfachen Radikalerweiterungen besteht, wobei eine einfache Radikalerweiterung durch die Adjunktion einer gewissen Wurzel eines Elements gegeben ist\zusatzfussnote {Man beachte, dass eine einfache Radikalerweiterung
\betonung{nicht}{} das gleiche ist wie eine Radikalerweiterung, die zugleich eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} ist} {.} {.}
Eine Radikalerweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man eine $m$-\stichwort {Radikalerweiterung} {,} wenn es eine Körperkette aus einfachen Radikalerweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_{i+1}
}
{ = }{ L_i(x_{i})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, wobei die Beziehung
\mathl{x_{i}^m \in L_i}{} gilt. Jede Radikalerweiterung ist eine $m$-\stichwort {Radikalerweiterung} {} für viele $m$, beispielsweise kann man jedes gemeinsame Vielfache der Einzelexponenten der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen nehmen. Ein solches $m$ hat
\zusatzklammer {ähnlich wie der Exponent bei Kummererweiterungen} {} {}
lediglich die Funktion, gewisse numerische Daten durch eine \anfuehrung{gemeinsame Schranke}{} zu kontrollieren.
\inputfaktbeweis
{Radikalerweiterung/Normale Hülle ebenfalls/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$m$-\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {normale Hülle}{}{}
$N$ von $L$ eine $m$-Radikalerweiterung von $K$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei eine Körperkette aus einfachen Radikalerweiterungen gegeben, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} {L_0
}
{ \subseteq} { L_1
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} {L_n
}
{ =} { L
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_{i+1}
}
{ = }{ L_i(x_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{x_i^m \in L_i}{.} Wir zeigen durch Induktion über $n$, dass die
\definitionsverweis {normale Hülle}{}{}
von $L$ über $K$ ebenfalls eine $m$-Radikalerweiterung ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nichts zu zeigen. Wir nehmen also an, dass die Aussage schon für kleinere Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n'
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bewiesen sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die normale Hülle, die die normale Hülle
\mathl{N_{n-1}}{} von
\mathl{L_{n-1}}{} enthält. Nach Induktionsvoraussetzung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ N_{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $m$-Radikalerweiterung. In
\mathl{N_{n-1}}{} zerfallen die Minimalpolynome der
\mathbed {x_i} {}
{i \leq n-2} {}
{} {} {} {,}
und in $N$ zerfallen die Minimalpolynome der
\mathbed {x_i} {}
{i \leq n-1} {}
{} {} {} {.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ = }{N_{n-1}(\alpha_1 , \ldots , \alpha_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die $\alpha_j$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von
\mathl{x_{n-1}}{} sind. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n-1}^m
}
{ = }{ a_{n-1}
}
{ \in }{ L_{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind diese $\alpha_j$ auch Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^m -a_{n-1}}{.}
Wir kommen nun zur gruppentheoretischen Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen. Dabei beschränken wir uns auf Charakteristik $0$. Dies sichert, dass es zu jeder Zahl $n$ primitive $n$-te Einheitswurzeln in einem Erweiterungskörper gibt. Durch die Hinzunahme von Einheitswurzeln können wir auf eine Situation hin transformieren, in der wir mittels Kummertheorie aus der Kommutativität von gewissen Galoisgruppen auf die Existenz von Wurzeln schließen können.
\inputfaktbeweis
{Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {auflösbar}{}{,}
wenn ihre
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{}
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zuerst die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auflösbar, und zwar sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Körpererweiterung derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Radikalerweiterung ist. Es sei $m$ dabei ein gemeinsamer \anfuehrung{Radikalexponent}{} der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik $0$ sind, können wir zu $M$ eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
$\zeta$
\definitionsverweis {adjungieren}{}{}
und erhalten eine $m$-Radikalerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M'
}
{ = }{M(\zeta)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir ersetzen $M'$ durch seine
\definitionsverweis {normale Hülle}{}{}
$M^{\prime \prime}$, die nach
Lemma 22.5
ebenfalls eine $m$-Radikalerweiterung von $K$ ist. Da wir in Charakteristik $0$ sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ M^{\prime \prime}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} {L_0
}
{ \subseteq} { K(\zeta)
}
{ =} { L_1
}
{ \subseteq} { L_2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq \ldots \subseteq} { L_k
}
{ =} { M
}
{ } {
}
{ } {}
}{}{}
vorliegt, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_i
}
{ \subseteq }{ L_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {einfache Radikalerweiterungen}{}{}
sind. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_i
}
{ =} { \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} L_i )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei gelten nach
Lemma 16.3 (2)
die natürlichen Inklusionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_k
}
{ =} {\{
\operatorname{Id} \}
}
{ \subseteq} { G_{k-1}
}
{ \subseteq} { G_{k-2}
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { G_1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq} { G_0
}
{ =} { G
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Da die Zwischenerweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_i
}
{ \subseteq }{ L_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einfache Radikalerweiterungen und in $L_1$ die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt aus
Satz 18.5,
dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund von
Satz 17.5 (2)
sind daher die
\mathl{G_{i+1}}{} Normalteiler in $G_i$ und die Restklassengruppen
\mathl{G_{i}/G_{i+1}}{} sind kommutativ. Die Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ K(\zeta)
}
{ = }{ L_1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt nach
Aufgabe 20.21
ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die $G$ als
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
erweist. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nach
Satz 17.5
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ =} { G /\operatorname{Gal}\, ( M {{|}} L )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass auch
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} wegen
Lemma 21.3
eine auflösbare Gruppe ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun vorausgesetzt, dass die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
ist, und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\{
\operatorname{Id} \}
}
{ =} { G_k
}
{ \subseteq} { G_{k-1}
}
{ \subseteq} { G_{k-2}
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { G_1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq} { G_0
}
{ =} { G
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_{i+1}
}
{ \subseteq }{ G_{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
ist mit
\definitionsverweis {abelscher}{}{}
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G_{i}/G_{i+1}}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_i
}
{ = }{ \operatorname{Fix}\, ( G_i )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass nach
Lemma 16.3 (1)
und
Satz 16.6
die Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} {L_0
}
{ \subseteq} { L_1
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { L_k
}
{ =} { L
}
}
{}{}{}
vorliegt. Dabei sind nach
Korollar 16.7
die Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_i
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {galoissch}{}{,}
und ihre
\definitionsverweis {Galoisgruppen}{}{}
sind $G_i$ gemäß
Satz 17.1.
Da die
\mathl{G_{i+1}}{} Normalteiler in $G_i$ sind, sind aufgrund von
Satz 17.5
die Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_i
}
{ \subseteq }{L_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
galoissch mit Galoisgruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L_{i+1} {{|}} L_i )
}
{ = }{ G_i/G_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese sukzessiven Erweiterungen sind also
\definitionsverweis {Galoiserweiterungen}{}{}
mit
\definitionsverweis {abelscher}{}{}
Galoisgruppe. Es sei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $G$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $m$-ter
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{,}
also ein
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von
\mathl{X^m-1}{} über $L$, und sei
\mathl{\zeta \in M}{} eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
Es ist somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{L(\zeta)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_i
}
{ = }{ L_i(\zeta)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {innerhalb von $M$} {} {}
und haben dann die Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq} {M_0
}
{ =} { K(\zeta)
}
{ \subseteq} { M_1
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { M_k
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { M
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Hierbei gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_{i+1}
}
{ = }{ M_i L_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 20.7
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_{i}
}
{ \subseteq }{ M_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( M_{i+1} {{|}} M_i )
}
{ =} { \operatorname{Gal}\, ( L_{i+1} {{|}} L_{i+1} \cap M_i )
}
{ \subseteq} { \operatorname{Gal}\, ( L_{i+1} {{|}} L_i )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die $m$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ zu $M_0$ gehört, sind die Erweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_i
}
{ \subseteq }{ M_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
allesamt
\definitionsverweis {Kummererweiterungen}{}{}
und damit nach
Korollar 18.4
auch
\definitionsverweis {Radikalerweiterungen}{}{.}
Da auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ M_0
}
{ = }{ K(\zeta)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {einfache} {} {}
Radikalerweiterung ist, ist insgesamt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Radikalerweiterung, die $L$ umfasst. Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}}
{}
\inputfaktbeweis
{Charakteristik 0/Auflösbares Polynom/Auflösbare Gruppe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom.}
\faktfolgerung {Dann ist $F$ genau dann
\definitionsverweis {auflösbar}{}{,}
wenn die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( Z(F) {{|}} K )}{} des
\definitionsverweis {Zerfällungskörpers}{}{} von $F$
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein wichtiges unmittelbares Korollar aus der vorstehenden Charakterisierung ist die Auflösbarkeit mit Radikalen von polynomialen Gleichungen vom Grad vier, wobei man dieses Ergebnis auch direkt über die
\zusatzklammer {recht komplizierten, aber} {} {}
expliziten Cardanoschen Lösungsformeln zum vierten Grad erhalten kann.
\inputfaktbeweis
{Auflösbarkeit der Gleichung vierten Grades/Mit Auflösbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad $\leq 4$.}
\faktfolgerung {Dann ist $F$
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. es gibt eine
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $F$ über $M$ in Linearfaktoren zerfällt.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $L$ der Zerfällungskörper von $F$ über $K$, der aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik nach
Satz 16.6
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Über $L$ besitzt $F$ maximal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ \operatorname{grad} \, (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Nullstellen. Nach
Lemma 14.2
ist $G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen, also ist jedenfalls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ S_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
Lemma 21.8
und
Lemma 21.2
ist somit $G$ eine
\definitionsverweis {auflösbare Gruppe}{}{.}
Aus
Satz 22.6
folgt daher die
\definitionsverweis {Auflösbarkeit}{}{}
des Zerfällungskörpers über $K$.
Das entscheidende Schlussfolgerung aus der obigen Charakterisierung ist aber, dass nicht alle Gleichungen auflösbar sind. Das ist Gegenstand der nächsten Vorlesung.