Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 9 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 65 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Verknüpfung} {} $\circ$ auf einer Menge $M$.
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.
}{Das
\stichwort {Signum} {}
einer
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
$\pi$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}
}{Ein $\varphi$-\stichwort {invarianter} {}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} zu einem
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine Matrix in \stichwort {jordanscher Normalform} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M\times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {.}
}{Zwei
\zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{}
heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
}{Die Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} { M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die inverse Matrix von $M$.
}{Die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} {\prod_{ i < j } \frac{ \pi( j ) - \pi( i )}{ j - i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt das Signum der Permutation $\pi$.
}{Ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} heißt $\varphi$-invariant, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(U)
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Eine quadratische Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} J_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & J_{k-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & J_k \end{pmatrix}} { , }
wobei die $J_i$
\definitionsverweis {Jordanmatrizen}{}{}
sind, heißt Matrix in
jordanscher Normalform.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.}{Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.}{Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
Vektorräume über $K$ der Dimension
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)}{} beschrieben werde. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Dann gibt es eine natürliche
\definitionsverweis {injektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\Psi} {V} { { ({ V }^{ * }) }^{ * }
} {v} { { \left( f \mapsto f(v) \right) }
} {.}
Wenn $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
ist, so ist $\Psi$ ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & u_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 0 & u_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & u_{n-2} & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & u_{n-1}\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}} { }
besitzt, wobei die $u_i$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{
Es sei $x$ der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
\mathdisp {y= 62+ { \frac{ 3 }{ 4 } } x} { }
und mit BC50 hat man die Kosten
\mathdisp {z= 255+ { \frac{ 1 }{ 2 } } x} { . }
Die Bedingung
\mathdisp {x \leq 62+ { \frac{ 3 }{ 4 } } x} { }
führt auf
\mathdisp {x \leq 248} { . }
Die Bedingung
\mathdisp {x \leq 255+ { \frac{ 1 }{ 2 } } x} { }
führt auf
\mathdisp {x \leq 510} { . }
Die Bedingung
\mathdisp {62+ { \frac{ 3 }{ 4 } } x \leq 255+ { \frac{ 1 }{ 2 } } x} { }
führt auf
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 4 } } x \leq 255- 62 = 193} { , }
also
\mathdisp {x \leq 772} { . }
Also ist für $x \leq 248$ keine Bahncard die günstigste Option, für $248 \leq x \leq 772$ ist die BC25 die günstigste Option und für $x \geq 772$ ist die BC50 die günstigste Option.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{9 (4+5)}
{
a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
bezüglich der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
bilden.
b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ -{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
bezüglich der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
bilden.
}
{
a) Zur Abkürzung sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M^2
}
{ =} {M \circ M
}
{ =} {\begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } - { \frac{ 3 }{ 4 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } & - { \frac{ 3 }{ 4 } } +{ \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{,}
und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M^3
}
{ =} {M \circ M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 3 }{ 4 } } & 0 \\ 0 & { \frac{ 3 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {E
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind
\mathkor {} {M} {und} {M^2} {}
invers zueinander.
b) Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A^2
}
{ =} {E
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ AM
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{AM^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es geht also um die sechs Matrizen
\mathdisp {E,M,M^2, A,AM,AM^2} { , }
die wir alle einheitlich als
\mathdisp {A^{i} M^j,\, i=0,1,\, j=0,1,2} { }
schreiben können. Ein Matrizenprodukt kann man somit als
\mathdisp {(A^{i} M^j) ( A^{r} M^s )} { }
schreiben. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt direkt wieder ein Ausdruck der Form
\mathl{A^\ell M^k}{} vor, wobei man wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A^2
}
{ = }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M^3
}
{ = }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreichen kann, dass
\mathl{\ell \leq 1}{} und
\mathl{k \leq 2}{} ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ = }{1,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kommt im Innern der Ausdruck $MA$ vor. Dieser ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{MA
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { AM^2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher kann man die $M$ nach rechts bringen und erhält eine Darstellung wie zuvor. Die Matrizenmuliplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist wieder assoziativ und die Einheitsmatrix ist das neutrale Element. Das inverse Element zu
\mathl{A^{i} M^{j}}{} ist aufgrund des bisher Bewiesenen
\mathdisp {M^{3-j} A^{i}} { }
und dieses gehört zur Menge.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme, ob die drei Funktionen
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ = }{ \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
}
{
Die Funktionen sind linear unabhängig. Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit vorliegen würde, so gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ af+bg+ch
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a,b,c \in \R}{,} nicht alle $0$. Dies gilt dann auch an jeder Stelle
\mathl{P \in \R}{.} Wir betrachten die Stellen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {0, { \frac{ \pi }{ 2 } } ,\pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Werte der drei Funktionen an diesen Stellen sind
\tabelleviervier {\zeileundvier { $P$ } { $f(P)$ } { $g(P)$ } { $h(P)$ } }
{\zeileundvier { $0$ } { $0$ } { $0$ } { $1$ } }
{\zeileundvier { ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$ } { ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$ } { $1$ } { $0$ } }
{\zeileundvier { $\pi$ } { $\pi$ } { $0$ } { $-1$ } }
Die angenommene lineare Abhängigkeit bedeutet somit, dass die Spalten der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ { \frac{ \pi }{ 2 } } & 1 & 0 \\\pi & 0 & -1 \end{pmatrix}} { }
linear abhängig sind und ihre Determinante $0$ sein muss. Die Entwicklung nach der ersten Zeile zeigt aber, dass die Determinante den Wert $-\pi$ hat.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {a \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
Die Zeilenoperation
\mathl{IV = 2II-III}{} führt auf
\mathdisp {(IV) \,\,\, 7b -c = -14} { }
und
\mathl{V=I+2IV}{} führt auf
\mathdisp {(V) \,\,\, 15b = -25} { . }
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ -25 }{ 15 } }
}
{ =} { -{ \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2c
}
{ =} {3-b
}
{ =} {3 + { \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 14 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { -5-4b-c
}
{ =} { -5-4 { \left( { \frac{ -5 }{ 3 } } \right) } - { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ -15 }{ 3 } } + { \frac{ 20 }{ 3 } } - { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \varphi { \left( - { \frac{ 2 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} - { \frac{ 5 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} - { \frac{ 5 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix}
}
{ =} {- { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix}- { \frac{ 5 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -2 - { \frac{ 5 }{ 3 } } + { \frac{ 49 }{ 3 } } \\{ \frac{ 4 }{ 3 } } + { \frac{ 14 }{ 3 } } \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 38 }{ 3 } } \\ { \frac{ 18 }{ 3 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 38 }{ 3 } } \\ 6 \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.
}
{
Wir nehmen zunächst an, dass $V$ und $W$ isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {} existiert.
Es sei
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} eine Basis von $W$. Aufgrund der Surjektivität von $\varphi$ existieren Elemente
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} in $V$ mit
\mathl{\varphi(v_i)=w_i}{.}
Es sei
\mathl{a_1v_1+\cdots+ a_nv_n = 0}{} eine Darstellung der 0. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ =} { \varphi(a_1v_1+\cdots+ a_nv_n)
}
{ =} { a_1\varphi(v_1)+\cdots+ a_n\varphi(v_n)
}
{ =} { a_1w_1+\cdots+ a_nw_n
}
}
{}
{}{;}
weil
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) (4) ist die Dimension von $V$ damit mindestens so hoch wie die von $W$. Mithilfe der Umkehrabbildung zu $\varphi$ können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von $W$ mindestens so hoch ist, wie die von $V$. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} von $V$ und
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} von $W$ gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen
\mathl{\varphi(v_i)=w_i}{} bzw.
\mathl{\psi(w_i)=v_i}{} gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind $V$ und $W$ isomorph.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N M
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede
\mathl{n \times n}{-}Matrix $N$ vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angenommen. Dann gibt es einen Vektor
\mathl{v \in K^n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Mv
}
{ =} {w
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir ergänzen $w$ zu einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {w=w_1,w_2 , \ldots , w_n} { }
von $K^n$. Es sei $N$ die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch $w \mapsto w$ und
\mathl{w_i \mapsto 0}{} für
\mathl{i \geq 2}{} festgelegte
lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von $N$ ist $1$, da ja das Bild gerade
\mathl{Kw}{} ist, und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{NMv
}
{ =} {Nw
}
{ =} {w
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{NM
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Widerspruch zur Voraussetzung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
}
{
Die Behauptung bedeutet die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^*(w_j^*)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{ji} v_i^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ${ V }^{ * }$. Dies kann man auf der Basis
\mathbed {v_k} {}
{k=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
überprüfen. Es ist einerseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \varphi^* (w_j^*) \right) } (v_k)
}
{ =} { w_j^* { \left( \varphi (v_k) \right) }
}
{ =} { w_j^* { \left( \sum _{r = 1}^m a_{rk} w_r \right) }
}
{ =} { \sum _{r = 1}^m a_{rk} w_j^* (w_r )
}
{ =} { a_{j k}
}
}
{}
{}{}
und andererseits ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^n a_{ji} v_i^* \right) } (v_k)
}
{ =} { a_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der
Cramerschen Regel.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} } }
}
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 23 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} } }
}
{ =} { { \frac{ 30 }{ 23 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq 4$ mit der Basis
\mathbeddisp {x^i} {}
{0 \leq i \leq 4} {}
{} {} {} {.}
Erstelle für die Ableitungsabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {V} {V
} {P} {P'
} {,}
die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.
Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.
}
{
Die Ableitung schickt die Basiselemente auf
\mathdisp {x^0=1 \mapsto 0,\, x^1 \mapsto 1,\, x^2 \mapsto 2x,\, x^3 \mapsto 3x^2,\, x^4 \mapsto 4x^3} { . }
Daraus sind direkt die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis abzulesen. In der beschreibenden Matrix stehen in den Spalten die Koeffizienten der Bildvektoren. Daher lautet die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Das Bild dieser Abbildung besteht aus allen Polynomen vom Grad $\leq 3$. Dieser Untervektorraum
besitzt die Basis
\mathl{x^0,x^1,x^2,x^3}{} und hat demnach die Dimension $4$.
Der Kern besteht aus den konstanten Polynomen mit der Basis $x^0$, dieser Unterraum ist also eindimensional.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei $I$ eine endliche Menge und \maabbdisp {\varphi} {I} {I } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass man $\varphi$ als die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \tau_1 \circ \cdots \circ \tau_k \circ \rho_1 \circ \cdots \circ \rho_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben kann, wobei die $\tau_i$ Transpositionen und die $\rho_j$ Abbildungen derart sind, dass es
\mathl{r , s \in I}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho {{|}}_{I \setminus \{r\} }
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ I \setminus \{r\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho (r)
}
{ =} {s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wenn $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist $\varphi$ auch
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
und damit eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{,}
und die Aussage gilt nach
Lemma 18.6
allein mit Transpositionen. Es sei also $\varphi$ nicht injektiv und seien
\mathl{r,s \in I}{} Elemente die beide auf das gleiche Element abgebildet werden. Es sei $\rho_1$ die Abbildung, die $r$ und $s$ auf $s$ abbildet und ansonsten die Identität ist. Dann
kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi_1 \circ \rho_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, wobei man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\psi_1 (r)
}
{ \defeq }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt, wobei $t$ ein Element sei, das nicht zum Bild von $\varphi$ gehört, und man ansonsten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\psi_1 (\ell)
}
{ \defeq }{ \varphi (\ell)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} setzt - also insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_1(s)
}
{ \defeq }{ \varphi (s)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Wenn $\psi_1$ ebenfalls nicht injektiv ist, so können wir mit entsprechenden Festsetzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi_1 \circ \rho_1
}
{ =} { \psi_2 \circ \rho_2 \circ \rho_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. So machen wir Schritt für Schritt weiter. Da sich dabei bei jedem Schritt die Anzahl der Elemente im Bild von $\psi_n$ erhöht, erreichen wir schließlich die Situation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi \circ \rho_n \circ \cdots \circ \rho_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\psi$ bijektiv ist. Diese Bijektion können wir als Produkt von Transpositionen darstellen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_1 , \ldots , a_n \in K$ und $n$ Elemente $b_1 , \ldots , b_n \in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein festes $i$. Dann ist
\mathdisp {(X-a_1) \cdots (X-a_{i-1}) (X-a_{i+1}) \cdots (X-a_n)} { }
ein Polynom vom Grad $n-1$, das an den Stellen
\mathl{a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_{i+1} , \ldots , a_n}{} den Wert $0$ hat. Das Polynom
\mathdisp {{ \frac{ b_i }{ (a_i-a_1) \cdots (a_{i}-a_{i-1}) (a_{i} -a_{i+1}) \cdots (a_i-a_n) } } (X-a_1) \cdots (X-a_{i-1}) (X-a_{i+1}) \cdots (X-a_n)} { }
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei $a_i$ den Wert $b_i$. Nennen wir dieses Polynom $P_i$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {P_1 + P_2 + \cdots + P_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das gesuchte Polynom. An der Stelle $a_i$ gilt ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_j(a_i)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i(a_i)
}
{ = }{b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3 - 4X+2} { }
die Variable $X$ durch die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & -16 \\ 8 & 23 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & -94 \\ 47 & 99 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}^3 -4 \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} +2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & -94 \\ 47 & 99 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 & 8 \\ -4 & -20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -5 & -86 \\ 43 & 81 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+2)}
{
a) Man gebe ein Beispiel für eine $4 \times 4$-\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{,} bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine $1$ steht.
b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der
\mathl{a_{11} = 1}{} ist.
}
{
a)
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
b) Eine $1$ links oben erzwingt die folgende Situation
\zusatzklammer {$x$ bedeutet, dass dort eine $1$ stehen könnte} {} {}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & x \\ 0 & x & 0 & x \\ 0 & x & x & 0 \end{pmatrix}} { . }
Wir betrachten die Situation je nachdem, wo in der zweiten Zeile die $1$ steht. Im ersten Fall ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 & 0 \end{pmatrix}} { , }
was nicht zu einer Lösung ergänzt werden kann. Im zweiten Fall ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 0 \end{pmatrix}} { . }
Da die verbleibenden noch freien Positionen auf einer Diagonalen liegen, kann das ebenfalls nicht zu einer Lösung ergänzt werden.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -4 & -1 & -2 & 3 \\ 6 & 7 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der Matrix ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det XE_4 - \begin{pmatrix} -4 & -1 & -2 & 3 \\ 6 & 7 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X+4 & 1 & 2 & -3 \\ -6 & X-7 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & X-3 & 2 \\ 0 & 0 & -6 & X-2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X+4 & 1 \\ -6 & X-7 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} X-3 & 2 \\ -6 & X-2 \end{pmatrix}
}
{ =} { ( (X+4)(X-7) +6)( (X-3)(X-2) +12)
}
{ =} { ( X^2 -3X -22 )( X^2 -5X +18)
}
}
{}
{}{.}
Der rechte Faktor ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2 -5X +18
}
{ =} { { \left( X- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 + 18 - { \frac{ 25 }{ 4 } }
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stets positiv und besitzt daher in $\R$ keine Nullstelle. Also zerfällt das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren und nach
Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist die Matrix nicht trigonalisierbar.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
den wir auch als
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{}
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{}
ist.
}
{
Nach
Lemma 30.5
ist eine Familie von Punkten
\mathl{P_0, P_1 , \ldots , P_n}{} eines affinen Raumes genau dann affin unabhängig, wenn die Vektorfamilie
\mathl{\overrightarrow{ P_0 P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_0 P_n }}{} linear unabhängig ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Spezialfall davon.
}