Kurs:Lineare Algebra/Teil I/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	4	4	4	2	6	8	4	3	7	6	2	2	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Durchschnitt zu einer Mengenfamilie ${}M_{i}$, ${}i\in I$, in einer Grundmenge ${}G$.
2. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
3. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
4. Der Eigenraum zu ${}\lambda \in K$ und einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Eine nilpotente lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf dem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Ein affines Erzeugendensystem eines affinen Unterraumes ${}F$ in einem affinen Raum ${}E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Basisergänzungssatz.
2. Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen
3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}A&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&B&\\\!\!\!\!\!g\downarrow &&\downarrow h\!\!\!\!\!&\\L&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

${}h\circ \varphi =\psi \circ g\,.$

Es seien ${}g$ und ${}h$ bijektiv.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\psi$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}\psi$ surjektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}-x&+2y&+z&+3w&=&-1\\x&+3y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\3x&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\2x&+y&\,\,\,\,-z&+3w&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}2\times 2$- Matrizen ${}A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$ und ${}B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ gegeben. Das Produkt ${}A\cdot B$ ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt ${}8$ Multiplikationen im Körper ${}K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur ${}7$ Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

${}m_{1}={\left(a_{11}+a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{22}\right)}\,,$

${}m_{2}={\left(a_{21}+a_{22}\right)}\cdot b_{11}\,,$

${}m_{3}=a_{11}\cdot {\left(b_{12}-b_{22}\right)}\,,$

${}m_{4}=a_{22}\cdot {\left(b_{21}-b_{11}\right)}\,,$

${}m_{5}={\left(a_{11}+a_{12}\right)}\cdot b_{22}\,,$

${}m_{6}={\left(a_{21}-a_{11}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{12}\right)}\,,$

${}m_{7}={\left(a_{12}-a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{21}+b_{22}\right)}\,.$

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

${}AB=C={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}}\,$

die Gleichungen

${}c_{11}=m_{1}+m_{4}-m_{5}+m_{7}\,,$

${}c_{12}=m_{3}+m_{5}\,,$

${}c_{21}=m_{2}+m_{4}\,,$

${}c_{22}=m_{1}-m_{2}+m_{3}+m_{6}\,,$

gelten.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$, eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

$(5)\,\,\,1u=u$

erfüllt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$ Tupeln der Länge ${}9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.$

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$?

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}C\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ das Bild der Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,t^{2},t^{3})=(x,y,z).$

Skizziere die Bilder von ${}C$ unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz.

Aufgabe * (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}F(x)$	${}3$	${}5$	${}1$	${}7$	${}8$	${}2$	${}6$	${}4$

gegebene Abbildung ${}F$ von

${}M=\{1,2,\ldots ,8\}\,$

in sich selbst.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}F^{2}=F\circ F$.
2. Erstelle eine Wertetabelle für ${}F^{3}=F\circ F\circ F$.
3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen ${}F^{n}$ bijektiv sind.
4. Bestimme für jedes ${}x\in M$ das minimale ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}F^{n}(x)=x\,$

   ist.

5. Bestimme das minimale ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}F^{n}(x)=x\,$

   für alle ${}x\in M$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix über einem Körper ${}K$. Zeige, dass ${}M$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${}M$ einen Eigenvektor besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die drei Ebenen ${}E,F,G$ im ${}\mathbb {Q} ^{3}$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

1. ${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-4y+3z=2\right\}}\,,$

2. ${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 7x-5y+6z=3\right\}}\,,$

3. ${}G={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 2x-y+4z=5\right\}}\,.$

Bestimme sämtliche Punkte ${}E\cap F\setminus E\cap F\cap G$.