Kurs:Lineare Algebra/Teil I/40/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	2	0	0	0	3	7	6	6	4	0	4	0	3	4	51

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Eine Diagonalmatrix.
3. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
4. Ein Fehlstand zu einer Permutation

   $\pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$

5. Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

6. Ein affiner Unterraum ${}F\subseteq E$ in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Basisaustauschlemma.
2. Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
3. Der Determinantenmultiplikationssatz.

Aufgabe (2 Punkte)

In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}7$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Aufgabe * (7 (1+1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

a) Skizziere die Bildvektoren ${}Me_{1}$ und ${}Me_{2}$.

b) Berechne ${}M^{2}$.

c) Berechne ${}M^{4}$ und ${}M^{8}$.

d) Berechne ${}M^{1003}$.

e) Zeige, dass die Potenzen ${}M^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,7$, eine Gruppe mit acht Elementen bilden.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien ${}v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und ${}a_{ij}\in K$. Zeige

${}\Phi {\left(\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i1}v_{i1},\ldots ,\sum _{i=1}^{m_{n}}a_{in}v_{in}\right)}=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{i_{1}1}\cdots a_{i_{n}n}\Phi {\left(v_{i_{1}1},\ldots ,v_{i_{n}n}\right)}\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}n$ verschiedene Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und Zahlen ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}n$ gibt, das ${}Q(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ erfüllt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\-3&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Gleichung

${}4x-9y=5\,,$

es sei ${}L$ die Lösungsmenge.

1. Zeige, dass ${}P={\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}$ und ${}Q={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$ affin-unabhängige Punkte von ${}L$ sind.
2. Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von

   ${}R={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}\in L\,$

   bezüglich ${}P$ und ${}Q$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.