Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Teiltest/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	3	1	2	3	3	4	4	4	3	1	8	6	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Ein Körper.
4. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
6. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer weiteren Basis ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
2. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
3. Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?

Aufgabe * (3 (0.5+0.5+1+1) Punkte)

Professor Knopfloch fliegt von Tokio nach Frankfurt. Die Zeitdifferenz zwischen Frankfurt und Tokio beträgt 9 Stunden (wenn es in Frankfurt 12:00 ist, so ist es in Tokio bereits 21:00 am gleichen Tag). Das Flugzeug startet am Samstag um 11:30 Ortszeit in Tokio und landet am Samstag um 16:30 Ortszeit in Frankfurt und folgt dabei der eingezeichneten blauen Kurve. Die Erde ist in 24 Zeitzonen eingeteilt; in der Karte sind das (sehr schematisch) die Flächen, die durch die vom Nordpol ausgehenden Strahlen begrenzt werden. Wenn einer der Strahlen von West nach Ost (in der Karte bedeutet dies gegen den Uhrzeigersinn) überflogen wird, so springt die Ortszeit um eine Stunde vor. Wenn die Datumsgrenze (die rote Linie) von West nach Ost überflogen wird, so springt das Datum um einen Tag zurück (aber auch um eine Stunde vor, da die Datumsgrenze auch eine Zeitzonengrenze ist). Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug für jede Überfliegung einer Zeitzone gleich lang braucht (das ist ziemlich unrealistisch) und dass Tokio und Frankfurt in der Mitte ihrer Zeitzonen liegen.

a) Wie lange ist das Flugzeug unterwegs?

b) Wie viele Minuten braucht das Flugzeug, um eine Zeitzone zu überfliegen?

c) Welche Ortszeit gilt unmittelbar nachdem das Flugzeug die Datumsgrenze durchflogen hat?

d) Wie viele Minuten war das Flugzeug gemäß Ortszeit am Freitag unterwegs?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B\cup C$.
2. ${}A\setminus B\subseteq C$.
3. ${}A\setminus C\subseteq B$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

seien durch

${}f(x)=x^{3}+x\,,$

${}g(y)=y^{2}-1\,$

und

${}h(z)=3z+4\,$

gegeben.

1. Berechne ${}g\circ f$.
2. Berechne ${}h\circ g$.
3. Berechne ${}h\circ g\circ f$ auf zwei unterschiedliche Arten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&-4y&+2z&+5w&=&12\\x&+5y&+7z&+w&=&1\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

1. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$, das aus den beiden Gleichungen

   ${}{\frac {3}{7}}x+{\frac {4}{9}}y-{\frac {3}{15}}z={\frac {1}{35}}\,$

   und

   ${}-{\frac {5}{3}}x+{\frac {1}{4}}y-{\frac {6}{7}}z={\frac {11}{10}}\,$

   besteht. Bestimme ein lineares Gleichungssystem, das zu diesem System äquivalent ist und zusätzlich die Eigenschaft besitzt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

2. Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum ${}V$ und von drei Teilmengen in ${}V$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.

Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe im ${}\mathbb {R} ^{3}$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$-Tupeln der Länge ${}9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.$

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}W$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$- Vektorraum (${}K$ ein Körper) und seien ${}U,V\subseteq W$ Untervektorräume der Dimension ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=r$ und ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=s$. Es gelte ${}r+s>n$. Zeige, dass ${}U\cap V\neq 0$ ist.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis

${}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

und die Basis

${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$.