Kurs:Lineare Algebra/Teil I/51/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 0 | 2 | 4 | 3 | 0 | 0 | 2 | 8 | 4 | 3 | 1 | 3 | 2 | 5 | 4 | 49 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Matrizenmultiplikation.
- Der von einer Familie von Vektoren , aus einem - Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
- Die Elementarmatrizen.
- Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
- Ein affiner Raum über einem - Vektorraum .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- /Fakt/Name
- Der Satz über Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten.
- /Fakt/Name
Aufgabe * (2 Punkte)
Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Löse das lineare Gleichungssystem
Aufgabe * (4 Punkte)
Wir betrachten die lineare Abbildung , die durch die Matrix gegeben ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und zwei - Vektorräume. Es sei
eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung
linear ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Aufgabe * (8 Punkte)
Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme die inverse Matrix von
Aufgabe * (3 (2+0.5+0.5) Punkte)
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum
eine lineare Abbildung und . Zeige folgende Aussagen.
- Der
Eigenraum
ist ein Untervektorraum von .
- ist genau dann ein Eigenwert zu , wenn der Eigenraum nicht der Nullraum ist.
- Ein Vektor , ist genau dann ein Eigenvektor zu , wenn ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in sind.
Aufgabe * (4 Punkte)
Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung