Kurs:Lineare Algebra/Teil I/51/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 0 2 4 3 0 0 2 8 4 3 1 3 2 5 4 49




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem - Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  3. Die Elementarmatrizen.
  4. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  5. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  6. Ein affiner Raum über einem - Vektorraum .



Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. Der Satz über Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten.
  3. /Fakt/Name



Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem



Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung , die durch die Matrix gegeben ist.

  1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

    gegebenen Geraden.

  2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

    gegebenen Geraden.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und zwei - Vektorräume. Es sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

linear ist.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel.



Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.



Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von



Aufgabe * (3 (2+0.5+0.5) Punkte)

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum

eine lineare Abbildung und . Zeige folgende Aussagen.

  1. Der Eigenraum

    ist ein Untervektorraum von .

  2. ist genau dann ein Eigenwert zu , wenn der Eigenraum nicht der Nullraum ist.
  3. Ein Vektor , ist genau dann ein Eigenvektor zu , wenn ist.



Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die Matrix

nilpotent ist.



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in sind.



Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung