Kurs:Lineare Algebra/Teil I/63/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	0	0	4	4	0	3	5	4	4	3	0	0	0	0	0	0	4	7	0	0	38

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

Fanny sitzt nicht auf Pona.
Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
Nanny reitet direkt hinter Sanny.
Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Abbildung

f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}

Ist ${}f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

{\begin{pmatrix}11&3&1\\0&11&2\\0&0&11\end{pmatrix}}

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

{\begin{pmatrix}11&1&0\\0&11&1\\0&0&11\end{pmatrix}}

beschrieben wird.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.