Kurs:Lineare Algebra/Teil II/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	5	0	4	0	6	5	4	4	3	3	12	0	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Skalarprodukt auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.
2. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$.
3. Eine Relation zwischen den Mengen ${}X$ und ${}Y$.
4. Eine Orientierung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.
5. Die offene Kugel mit Mittelpunkt ${}x\in M$ und Radius ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum ${}M$.
6. Eine spaltenstochastische Matrix.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Eigenwerte bei einer Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {C} }$-

   Vektorraum.
2. Der Satz über die Charakterisierung der Mittelsenkrechten mit einer Abstandsbedingung.
3. Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {C} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$

als lineare Abbildung

$M\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}.$

Bestimme die Eigenwerte und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von ${}M$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}1&a_{12}&\ldots &\ldots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&a_{n-1n}\\0&\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}\,$

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

winkeltreu ist. Zeige

${}M=E_{n}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Typ der Matrix

${\begin{pmatrix}-6&1-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\1+4{\mathrm {i} }&1&-6{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&6{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\preccurlyeq$ eine Relation auf ${}M$, die reflexiv und transitiv sei.

1. Zeige, dass auf ${}M$ durch ${}x\sim y$, falls ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$ ist, eine Äquivalenzrelation definiert wird.
2. Es sei ${}Q$ die Quotientenmenge zu ${}M$ zur Äquivalenzrelation aus (1). Zeige, dass durch ${}[x]\leq [y]$, falls ${}x\preccurlyeq y$, eine wohldefinierte Relation auf ${}Q$ gegeben ist.
3. Zeige, dass die Relation auf ${}Q$ aus (2) eine Ordnungsrelation ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe ${}S_{n}$ zu einer Menge mit ${}n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in ${}S_{n}$ Elemente der Ordnung ${}n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ${}n$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Definiere einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {O} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{n+1}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

von der Gruppe der Isometrien auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ in die Gruppe der eigentlichen Isometrien auf dem ${}\mathbb {R} ^{n+1}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe eines Fußballfeldes. Dabei soll zu jeder Symmetrie die Ordnung angegeben werden.

Aufgabe * (12 (6+1+5) Punkte)

Wir wollen Aussagen über die Determinante einer spaltenstochastischen ${}d\times d$- Matrix machen.

1. Zeige, dass für die Determinante einer spaltenstochastischen Matrix ${}M$ die Beziehung

   ${}\vert {\det M}\vert \leq 1\,$

   gilt.

2. Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix, die nicht die Einheitsmatrix sei, mit

   ${}\det M=1\,$

3. Es sei ${}d\geq 2$ und ${}M$ besitze zusätzlich die Eigenschaft, dass es eine Zeile mit ausschließlich positiven Einträgen gebe. Zeige

   ${}\vert {\det M}\vert <1\,$

Aufgabe (0 Punkte)