Kurs:Lineare Algebra/Teil II/17/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	0	4	4	0	3	0	0	0	5	0	2	7	5	0	5	45

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Vektorraum.
2. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
3. Ein normaler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.

4. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
5. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler ${}H\subseteq G$ in einer Gruppe ${}G$.
6. Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen

   $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

   für ${}i=1,\ldots ,n$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kongruenzsatz für Dreiecke.
2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktionen

$f_{m}\colon [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit

${}f_{m}(x):=e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}\,$

zu ${}m\in \mathbb {Z}$ im Raum der stetigen Funktionen von ${}[0,1]$ nach ${}{\mathbb {C} }$ ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{0}^{1}f{\overline {g}}dx\,$

gegebenen Skalarproduktes bilden. Man verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

In den folgenden Teilaufgaben sollen Dreiecke beschrieben werden, für die jeweils ${}(0,1)$ ein Eckpunkt und ${}(0,0)$ der Höhenfußpunkt durch diese Ecke ist. Es sind jeweils die beiden anderen Eckpunkte anzugeben.

1. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in ${}(0,1)$.
2. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel auf der ${}x$-Achse.
3. Ein gleichseitiges Dreieck.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor ${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (5 (2+1+2) Punkte)

Für reelle Zahlen ${}r,s$ setzen wir ${}r\sim s$, wenn es rationale Zahlen ${}u,v\in \mathbb {Q}$ mit ${}u\neq 0$ derart gibt, dass

${}r=us+v\,$

ist.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {R}$ ist.
2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${}{\frac {3}{7}}$.
3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht kommensurabel sind, die aber unter ${}\sim$ äquivalent sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe einer Träne in der Ebene.

Aufgabe * (7 (3+2+2) Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung.

1. Zeige, dass für jeden Vektor ${}v\in V$ die Abschätzung

   ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$

   genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm

   ${}\Vert {\varphi }\Vert \leq 1\,$

   gilt.

2. Zeige, dass ${}\varphi$, wenn es die Bedingungen aus Teil (1) erfüllt, stabil ist.
3. Man gebe ein Beispiel für ein ${}\varphi$, das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (1) besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {6}{7}}\end{pmatrix}}\,.$

Bestimme das minimale ${}n$ derart, dass in der ${}n$-ten Potenz ${}M^{n}$ die Differenz der ersten zur zweiten Spalte ${}\leq {\frac {1}{50}}$ bezüglich der Maximumsnorm des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.