Kurs:Lineare Algebra/Teil II/Teiltest/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 4 | 1 | 2 | 6 | 3 | 5 | 8 | 2 | 5 | 2 | 6 | 8 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem - Vektorraum .
- Orthogonale Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.
- Eine
winkeltreue Abbildung
auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.
- Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
- Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem - Vektorraum bezüglich einer Basis von .
- Ein
normaler
Endomorphismus
auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum mit Skalarprodukt .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im .
- Der Trägheitssatz von Sylvester.
- Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
Aufgabe * (2 Punkte)
Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?
Aufgabe * (4 Punkte)
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
des an.
Aufgabe * (1 Punkt)
Aufgabe (2 Punkte)
Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.
Aufgabe (3 Punkte)
Was versteht man in der Mathematik unter Klassifikation? Welche Ergebnisse aus der linearen Algebra kann man als Klassifikationsergebnisse auffassen?
Aufgabe * (5 Punkte)
Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu , , die Vektoren
Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.
Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei
die direkte Summe der Untervektorräume und . Es seien
und
die Summe davon.
- Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h.
und
stehen senkrecht aufeinander. Zeige
- Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
wenn
eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.
Aufgabe * (8 Punkte)
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei , , eine Basis von und , , eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn , , eine Basis des Restklassenraumes ist.
Aufgabe * (4 Punkte)