Kurs:Lineare Algebra/Teil II/Teiltest/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 4 1 2 6 3 5 8 2 5 2 6 8 4 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem - Vektorraum .
  2. Orthogonale Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Eine winkeltreue Abbildung

    auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.

  4. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
  5. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem - Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  6. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum mit Skalarprodukt .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im .
  2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
  3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).



Aufgabe * (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?



Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.



Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne das Kreuzprodukt

im .



Aufgabe (2 Punkte)

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.



Aufgabe (3 Punkte)

Was versteht man in der Mathematik unter Klassifikation? Welche Ergebnisse aus der linearen Algebra kann man als Klassifikationsergebnisse auffassen?



Aufgabe * (5 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu , , die Vektoren

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.



Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

die direkte Summe der Untervektorräume und . Es seien

und

lineare Abbildungen und

die Summe davon.

  1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. und stehen senkrecht aufeinander. Zeige
  2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.



Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.



Aufgabe * (5 Punkte)

Bringe das reelle quadratische Polynom

auf eine Standardgestalt.



Aufgabe * (2 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.



Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei , , eine Basis von und , , eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn , , eine Basis des Restklassenraumes ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.