Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 48/latex
\setcounter{section}{48}
\zwischenueberschrift{Restklassenräume}
{Vektorraum/Untervektorraum/Verschiebung/Äquivalenzrelation/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die durch
\mathdisp {v \sim w, \text{ falls } v-w \in U} { , }
definierte
\definitionsverweis {Relation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $V$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{Dies gilt generell für die Nebenklassen zu einer Untergruppe, wie in der 46. Vorlesung gezeigt wurde.}
Wir geben noch einen direkten Beweis, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
Wir gehen die Bedingungen einer
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
durch. Die Reflexivität folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v-v
}
{ = }{ 0
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Symmetrie folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w-v
}
{ = }{-(v-w)
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Transitivität ergibt sich so: Aus
\mathl{u-v \in U}{} und
\mathl{v-w \in U}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u-w
}
{ = }{(u-v) + (v-w)
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Planes parallel.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Planes parallel.svg } {} {Qef} {Commons} {gemeinfrei} {}
Die Nebenklassen zu dem Untervektorraum $U$ besitzen eine einfache geometrische Interpretation, eine Nebenklasse ist nichts anderes als ein zu $U$ paralleler affiner Unterraum von $V$, also ein Raum der Form
\mathl{P+U}{} mit
\mathl{P \in V}{.} Die Quotientengruppe besteht aus der Menge dieser affinen Unterräume.
Wir können auf diese Äquivalenzrelation die allgemeinen Ergebnisse für Normalteiler in einer Gruppe und Äquivalenzrelationen anwenden und erhalten eine surjektive Quotientenabbildung \zusatzklammer {oder Identifizierungsabbildung oder kanonische Projektion} {} {} \maabbeledisp {q} {V} { V/ \sim } {v} {q(v) = [v] } {.} Statt $V/ \sim$ werden wir $V/U$ schreiben. Das Besondere an dieser Situation ist, dass diese Quotientenmenge selbst ein Vektorraum ist, und dass die kanonische Abbildung linear ist.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $V/U$ die Menge der
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
\zusatzklammer {die Quotientenmenge} {} {}
zu der durch $U$
\definitionsverweis {definierten Äquivalenzrelation}{}{}
auf $V$ und es sei
\maabbeledisp {q} {V} {V/U
} {v} {[v]
} {,}
die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte $K$-Vektor\-raumstruktur auf $V/U$ derart, dass $q$ eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [v] + [w]
}
{ =} {[v+w]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Skalarmultiplikation durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda [v]
}
{ =} {[\lambda v]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf $V/U$ definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für
\mathkon { [v]=[v'] } { und } { [w]=[w'] }{ }
zu zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [v+w]
}
{ = }{[v' +w']
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Nach Voraussetzung können wir
\mathkon { v'= v+u } { und } { w' = w+u' }{ }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,u'
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v' + w'
}
{ =} { v+w+u+u'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u+u'
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
äquivalent zu $v+w$. Zur Skalarmultiplikation sei wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'
}
{ = }{ v+u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda v'
}
{ =} { \lambda( v+u)
}
{ =} { \lambda v + \lambda u
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und das ist äquivalent zu $\lambda v$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum
}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Dann nennt man die Menge $V/U$ der
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
mit der in
Satz 48.2
bewiesenen Vektorraumstruktur den \definitionswort {Restklassenraum}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Quotientenraum}{}} {} {}
von $V$ modulo $U$.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {V, Q} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei
\maabb {\varphi} {V} { W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\maabb {\psi} {V} {Q
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive}{}{}
lineare Abbildung.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q } { W
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {Mit anderen Worten: das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & \\ \!\!\! \!\! \psi \downarrow & \nearrow & \\ Q & & & & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
ist kommutativ.}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Für jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es mindestens ein
\mathkor {} {v \in V} {mit} {\psi (v)=u} {.}
Wegen der Kommutativität muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (u)
}
{ = }{\varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein $\tilde{\varphi}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,v'
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Urbilder von $u$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v'-v
}
{ \in} { \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} {\operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ \varphi(v')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung ist also wohldefiniert.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,u'
}
{ \in }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,v'
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Urbilder davon. Dann ist $v+v'$ ein Urbild von $u+u'$ und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (u+u')
}
{ =} { \varphi(v+v')
}
{ =} { \varphi(v) + \varphi (v')
}
{ =} { \tilde{\varphi} (u) + \tilde{\varphi} (u')
}
{ } {}
}
{}{}{.}
D.h. $\tilde{\varphi}$ ist mit der Addition verträglich.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $\lambda v$ ein Urbild von $\lambda u$ und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (\lambda u)
}
{ =} { \varphi( \lambda v)
}
{ =} { \lambda \varphi(v)
}
{ =} { \lambda \tilde{\varphi} ( u)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist $\tilde{\varphi}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.}
{}
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung $\tilde{\varphi}$ heißt
\definitionswortenp{induzierte lineare Abbildung}{} und entsprechend heißt der Satz auch
\stichwort{der Satz über die induzierte Abbildung}{.}
\inputfaktbeweis
{Vektorräume/Lineare Abbildung/Surjektiv und Restklassenraum/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen zwei
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
\definitionsverweis {lineare Isomorphie}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {V/ \operatorname{kern} \varphi } {W
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir wenden
Satz 48.4
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{V / \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{}
\maabb {q} {V} {V/\operatorname{kern} \varphi
} {}
an. Dies induziert eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { V/\operatorname{kern} \varphi } { W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die surjektiv ist. Sei
\mathkor {} {[x] \in V/\operatorname{kern} \varphi} {und} {[x] \in \operatorname{kern} \tilde{\varphi}} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} ([x])
}
{ =} { \varphi(x)
}
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[x]
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{V/\operatorname{kern} \varphi}{,} d.h. der Kern von $\tilde{\varphi}$ ist trivial und nach
Lemma 11.3
ist $\tilde{\varphi}$ auch injektiv.
\inputfaktbeweis
{Vektorräume/Lineare Abbildung/Faktorisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen zwei
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
\mathdisp {V \stackrel{q}{\longrightarrow} V/ \operatorname{kern} \varphi \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \operatorname{bild} \varphi \stackrel{\iota} {\hookrightarrow} W} { , }
wobei $q$ die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{,}
$\theta$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum-Isomorphismus}{}{}
und $i$ die kanonische Inklusion des
\definitionsverweis {Bildraumes}{}{}
in $W$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 48.5, angewendet aud die surjektive Abbildung \maabbdisp {} {V} { \operatorname{bild} \varphi } {.}
Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:
\einrueckung{
\betonung{Bild $=$ Urbild modulo Kern}{.}}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V/U \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } - \operatorname{dim}_{ } { \left( U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{}
\maabbdisp {} {V} {V/U
} {}
ist
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
und besitzt $U$ als Kern. Nach
der Dimensionsformel
ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V/U \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } - \operatorname{dim}_{ } { \left( U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Direkte Summe/Restklassenraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mathkor {} {U} {und} {W} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V/U
}
{ \cong} {W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Projektion \maabbdisp {} {V} {W } {} besitzt $U$ als \definitionsverweis {Kern}{}{.} Daher ergibt sich die Aussage aus Korollar 48.5.