Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 48

Restklassenräume

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist die durch

$v\sim w,{\text{ falls }}v-w\in U,$

definierte Relation eine Äquivalenzrelation auf ${}V$ .

Beweis

Dies gilt generell für die Nebenklassen zu einer Untergruppe, wie in der 46. Vorlesung gezeigt wurde.

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Wir geben noch einen direkten Beweis, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.

Wir gehen die Bedingungen einer Äquivalenzrelation durch. Die Reflexivität folgt aus ${}v-v=0\in U$ , die Symmetrie folgt aus ${}w-v=-(v-w)\in U$ , die Transitivität ergibt sich so: Aus ${}u-v\in U$ und ${}v-w\in U$ folgt ${}u-w=(u-v)+(v-w)\in U$ .

Die Nebenklassen zu dem Untervektorraum ${}U$ besitzen eine einfache geometrische Interpretation, eine Nebenklasse ist nichts anderes als ein zu ${}U$ paralleler affiner Unterraum von ${}V$ , also ein Raum der Form ${}P+U$ mit ${}P\in V$ . Die Quotientengruppe besteht aus der Menge dieser affinen Unterräume.

Wir können auf diese Äquivalenzrelation die allgemeinen Ergebnisse für Normalteiler in einer Gruppe und Äquivalenzrelationen anwenden und erhalten eine surjektive Quotientenabbildung (oder Identifizierungsabbildung oder kanonische Projektion)

q\colon V\longrightarrow V/\sim ,\,v\longmapsto q(v)=[v].

Statt ${}V/\sim$ werden wir ${}V/U$ schreiben. Das Besondere an dieser Situation ist, dass diese Quotientenmenge selbst ein Vektorraum ist, und dass die kanonische Abbildung linear ist.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}V/U$ die Menge der Äquivalenzklassen (die Quotientenmenge) zu der durch ${}U$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}V$ und es sei

q\colon V\longrightarrow V/U,\,v\longmapsto [v],

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}K$ -Vektorraumstruktur auf ${}V/U$ derart, dass ${}q$ eine ${}K$ - lineare Abbildung ist.

Beweis

Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch

{}[v]+[w]=[v+w]\,

und die Skalarmultiplikation durch

{}\lambda [v]=[\lambda v]\,

gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf ${}V/U$ definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für $[v]=[v']$ und $[w]=[w']$ zu zeigen, dass ${}[v+w]=[v'+w']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $v'=v+u$ und $w'=w+u'$ mit ${}u,u'\in U$ schreiben. Damit ist

{}v'+w'=v+w+u+u'\,

und dies ist wegen ${}u+u'\in U$ äquivalent zu ${}v+w$ . Zur Skalarmultiplikation sei wieder ${}v'=v+u$ mit ${}u\in U$ . Dann ist

{}\lambda v'=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u\,,

und das ist äquivalent zu ${}\lambda v$ . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf ${}V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.

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Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann nennt man die Menge ${}V/U$ der Äquivalenzklassen mit der in Satz 48.2 bewiesenen Vektorraumstruktur den Restklassenraum (oder Quotientenraum) von ${}V$ modulo ${}U$ .

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

{}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

{\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow &\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

ist kommutativ.

Beweis

Für jedes Element ${}u\in Q$ gibt es mindestens ein ${}v\in V$ mit ${}\psi (v)=u$ . Wegen der Kommutativität muss ${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (v)$ gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also ${}v,v'\in V$ zwei Urbilder von ${}u$ . Dann ist

{}v'-v\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,

und daher ist ${}\varphi (v)=\varphi (v')$ . Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien ${}u,u'\in Q$ und seien ${}v,v'\in V$ Urbilder davon. Dann ist ${}v+v'$ ein Urbild von ${}u+u'$ und daher ist

{}{\tilde {\varphi }}(u+u')=\varphi (v+v')=\varphi (v)+\varphi (v')={\tilde {\varphi }}(u)+{\tilde {\varphi }}(u')\,.

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist mit der Addition verträglich.
Es sei ${}u\in Q$ mit einem Urbild ${}v\in V$ und sei ${}\lambda \in K$ . Dann ist ${}\lambda v$ ein Urbild von ${}\lambda u$ und daher ist

{}{\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,

also ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

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Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung ${}{\tilde {\varphi }}$ heißt induzierte lineare Abbildung und entsprechend heißt der Satz auch der Satz über die induzierte Abbildung.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine surjektive lineare Abbildung zwischen zwei ${}K$ - Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W.$

Beweis

Wir wenden Satz 48.4 auf ${}Q=V/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion ${}q\colon V\rightarrow V/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert eine lineare Abbildung

{\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W

mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$ , die surjektiv ist. Sei ${}[x]\in V/\operatorname {kern} \varphi$ und ${}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$ . Dann ist

{}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=0\,,

also ${}x\in \operatorname {kern} \varphi$ . Damit ist ${}[x]=0$ in ${}V/\operatorname {kern} \varphi$ , d.h. der Kern von ${}{\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Lemma 11.3 ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung zwischen zwei ${}K$ - Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$V{\stackrel {q}{\longrightarrow }}V/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}W,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Vektorraum-Isomorphismus und ${}i$ die kanonische Inklusion des Bildraumes in ${}W$ ist.