Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Projektionen}
Zu einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U_1 \oplus U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
\mathl{V}{} nennt man die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {p_1} { V } { U_1
} { v_1+v_2 } { v_1
} {,}
die erste Projektion
\zusatzklammer {oder Projektion auf $U_1$ bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf $U_1$ längs $U_2$} {} {}
und entsprechend
\maabbeledisp {p_2} {V} {U_2
} {v_1+v_2} {v_2
} {,}
die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die $U_1$ und $U_2$ Untervektorräume von $V$ sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung
\mathdisp {V \stackrel{p_1}{\longrightarrow} U_1 \longrightarrow V} { }
ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
heißt
\definitionswort {Projektion}{}
von $V$ auf $U$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_U
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ U }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_J
}
{ =} { \langle v_i ,\, i \in J \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zu $J$ gehörende
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
und
\maabbeledisp {p_J} {V} {V
} {\sum_{i \in I} a_iv_i } { \sum_{i \in J} a_iv_i
} {,}
die zugehörige
\definitionsverweis {Projektion}{}{.}
Das Bild dieser Projektion ist $V_J$ und man kann die Abbildung auch als
\maabbdisp {p_J} {V} {V_J
} {}
auffassen. Auf $V_J$ liegt die Identität vor. Der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Abbildung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} p_J
}
{ =} { \langle v_i ,\, i \notin J \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Figure 7 cubes CRPE 3e concours 2012 math solution.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Figure 7 cubes CRPE 3e concours 2012 math solution.svg } {} {Cdang} {Commons} {PD} {}
Für den $\R^3$, versehen mit der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{,}
ergeben sich
\zusatzklammer {im Sinne von
Beispiel 13.2
betrachtet man die zweielementigen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subset }{ \{1,2,3\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
drei verschiedene Projektionen\zusatzfussnote {Diese Projektionen sind sogar sogenannte orthogonale Projektionen. Davon kann man nur sprechen, wenn man ein Skalarprodukt zur Verfügung hat, was wir im zweiten Semester behandeln werden. Hier liegen einfach nur lineare Projektionen vor, die, anders als im orthogonalen Fall, wesentlich vom gewählten direkten Komplement abhängen} {.} {} auf die Koordinaten\-ebenen. Man nennt
\maabbeledisp {p_{\{1,2\} }} {\R^3} { \R^3
} {(a,b,c)} { (a,b,0)
} {,}
die Projektion auf die Grundebene,
\maabbeledisp {p_{\{1,3\} }} {\R^3} { \R^3
} {(a,b,c)} { (a,0,c)
} {,}
die Projektion auf die Aufebene,
\maabbeledisp {p_{\{2,3\} }} {\R^3} { \R^3
} {(a,b,c)} { (0,b,c)
} {,}
die Projektion auf die Kreuzebene
\zusatzklammer {oder Seitenebene} {} {.}
Die Bilder eines Gegenstandes im $\R^3$ unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss.
Zu den einelementigen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{j\}
}
{ \subseteq }{ \{1,2,3\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehören die Projektionen auf die Achsen.
}
Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
heißt
\definitionswort {Projektion}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^2
}
{ =} { \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen.
\inputfaktbeweis
{Projektion/Unterraum/Idempotent/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Zu einer
\definitionsverweis {direkten Zerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus U'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Projektion}{}{}
auf $U$ eine Projektion im Sinne von
Definition 13.4.
Eine solche Projektion
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
führt umgekehrt zu einer Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{kern} \varphi \oplus \operatorname{bild} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und $\varphi$ ist die Projektion auf
\mathl{\operatorname{bild} \varphi}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $\pi_U$ die Projektion auf $U$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ u+u'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{u \in U,\, u' \in U'}{} gilt dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi_U( \pi_U( u+u') )
}
{ =} { \pi_U (u)
}
{ =} { u
}
{ =} { \pi_U(u+u')
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi_U^2
}
{ =} { \pi_U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine Endomorphismus mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^2
}
{ =} {\varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi \cap \operatorname{bild} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es insbesondere ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(y)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \varphi(y)
}
{ =} { \varphi(\varphi(y))
}
{ =} { \varphi(x)
}
{ =} { 0
}
}
{}{}{,}
d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \varphi(v) + (v - \varphi(v))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v - \varphi(v))
}
{ =} { \varphi(v) - \varphi( \varphi(v))
}
{ =} { \varphi(v) - \varphi(v)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.
\zwischenueberschrift{Homomorphismenräume}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }
}
{ =} { { \left\{ f:V \rightarrow W \mid f \text{ lineare Abbildung} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Homomorphismenraum}{.} Er wird versehen mit der Addition, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f+g)(v)
}
{ \defeq} {f(v) +g(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\lambda f)(v)
}
{ \defeq} {\lambda \cdot f(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert wird.
}
Nach Aufgabe 13.8 handelt es sich in der Tat um einen $K$-Vektorraum.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $W$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Dann ist die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K , W \right) } } {W } { \varphi} { \varphi(1) } {,} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} von Vektorräumen, siehe Aufgabe 13.10.
}
{Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {U} {V
} {}
mit einem weiteren Vektorraum $U$ induziert eine lineare Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( U , W \right) }
} {f} { f \circ \varphi
} {.}
} {Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {W} {T
} {}
mit einem weiteren Vektorraum $T$ induziert eine lineare Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , T \right) }
} {f} { \psi \circ f
} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 13.15. }
\inputfaktbeweis
{Direkte Summe/Lineare Abbildung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { U_1 \oplus U_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $W$ ein weiterer $K$-Vektorraum und es seien
\maabbdisp {\varphi_1} {U_1} {W
} {}
und
\maabbdisp {\varphi_2} {U_2} {W
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v)
}
{ \defeq} { \varphi_1(v_1) + \varphi_2(v_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ v_1+v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die direkte Zerlegung ist, eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
gegeben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{v_1 + v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {v_1 \in U_1} {und} {v_2 \in U_2} {}
eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi( av+bv')
}
{ =} { \varphi_1 ( ( av+bv')_1 ) + \varphi_2 ( ( av+bv')_2 )
}
{ =} { \varphi_1 ( av_1+bv'_1 ) + \varphi_2 ( av_2+bv'_2 )
}
{ =} { a \varphi_1 ( v_1) +b \varphi_1 ( v'_1 ) + a \varphi_2 ( v_2) +b \varphi_2( v'_2 )
}
{ =} { a \varphi_1 (v_1) +a \varphi_2(v_2) + b \varphi_1(v'_1) + b \varphi_2(v'_2)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { a \varphi (v) + b \varphi(v')
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Homomorphismenraum/Direkte Summenzerlegung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V_1 \oplus \cdots \oplus V_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { W_1 \oplus \cdots \oplus W_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegungen}{}{}
und es seien
\maabbdisp {p_j} {W} {W_j
} {}
die
\definitionsverweis {kanonischen Projektionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \prod_{1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq m } \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_i , W_j \right) }
} {f} { p_j \circ { \left( f {{|}}_{V_i} \right) }
} {,}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {Wenn man die
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_i , W_j \right) }}{} als Untervektorräume von
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{} auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }
}
{ \cong} { \bigoplus_{1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq m } \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_i , W_j \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
vor.}
\faktzusatz {}
}
{
Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus
Lemma 13.8.
Zum Nachweis der Injektivität sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{v_1 + \cdots + v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_i
}
{ \in }{ V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v_i)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $i$. Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (f(v_i))_j
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $j$ und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_{ij}
}
{ =} { p_j \circ { \left( f {{|}}_{V_i} \right) }
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen
\mathl{f_{ij} \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_i , W_j \right) } ,\, 1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq m}{,} gegeben, die wir als Abbildungen nach $W$ auffassen. Dann sind die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_i
}
{ =} {\sum_{j = 1}^m f_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lineare Abbildungen von $V_i$ nach $W$. Dies ergibt nach
Lemma 13.9
eine lineare Abbildung
\mathl{\sum_{i=1}^n f_i}{} von $V$ nach $W$, die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.
\inputfaktbeweis
{Homomorphismenraum/Basen/Matrizen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Basis von $W$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
} { f } { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (f)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
von $K$-Vektorräumen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Bijektivität wurde in
Satz 10.15
gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (f+g) \right) }_{ij}
}
{ =} { ( (f+g) (v_j))_i
}
{ =} { ( f(v_j) +g(v_j) )_i
}
{ =} { f(v_j)_i + g(v_j)_i
}
{ =} { { \left( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (f) \right) }_{ij} + { \left( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (g) \right) }_{ij}
}
}
{}{}{,}
wobei der Index $i$ die $i$-te Komponente bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ bezeichnet.
Man kann auch die zu den Basen gehörende direkte Summenzerlegung in die eindimensionalen Untervektorräume
\mathkor {} {Kv_i} {bzw.} {Kw_j} {}
betrachten und
Lemma 13.10
anwenden.
\inputfaktbeweis
{Homomorphismenraum/Dimension/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit den
\definitionsverweis {Dimensionen}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \right) }
}
{ =} { nm
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 13.11.
\zwischenueberschrift{Untervektorräume von Homomorphismenräumen}
\inputfaktbeweis
{Homomorphismenraum/Unterräume/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Teilmengen
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
von
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Zu einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \mid \varphi {{|}}_U = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum von
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{.} Wenn
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
sind, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( S \right) }
}
{ =} { { \left( \dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( U \right) } \right) } \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \mid \operatorname{bild} \varphi \subseteq U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum von
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{,} der zu
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , U \right) }}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
ist. Wenn
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
sind, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( T \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } \cdot \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu Untervektorräumen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W_1
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \mid \varphi (V_1) \subseteq W_1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum von
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{.} Wenn
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
sind, so ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \dim_{ K } { \left( H \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V_1 \right) } \dim_{ K } { \left( W_1 \right) } + { \left( \dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( V_1 \right) } \right) } \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu Untervektorräumen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_1 , \ldots , V_n
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W_1 , \ldots , W_n
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \mid \varphi (V_1) \subseteq W_1 \text{ und } \varphi (V_2) \subseteq W_2 \text{ und } \ldots \text{ und } \varphi (V_n) \subseteq W_n \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum von
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei $U'$ ein
\definitionsverweis {direktes Komplement}{}{}
zu $U$ in $V$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus U'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_r}{} eine Basis von $U'$. Jede lineare Abbildung aus $S$ bildet $U$ auf $0$ ab, und auf $U'$ bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \cong} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( U' , W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Dimensionsaussage folgt aus
Korollar 13.12.
(2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung
\maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , U \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }
} {}
von
Lemma 13.8 (2)
ist in diesem Fall injektiv und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ \cong} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
(3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V_1 \oplus V_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine direkte Summenzerlegung. Nach
Lemma 13.10
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 , W \right) } \oplus \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_2 , W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 , W_1 \right) } \oplus \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_2 , W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist die Dimension gleich
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \dim_{ K } { \left( V_1 \right) } \cdot \dim_{ K } { \left( W_1 \right) } + \dim_{ K } { \left( V_2 \right) } \cdot \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V_1 \right) } \dim_{ K } { \left( W_1 \right) } + { \left( \dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( V_1 \right) } \right) } \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
(4). Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_i
}
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \mid \varphi(V_i) \subseteq W_i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \bigcap_{ i = 1}^k L_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher folgt (4) aus (3).
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Wir betrachten die natürliche Abbildung
\maabbeledisp {\Psi} { V \times \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { W
} { (v, \varphi)} { \varphi (v)
} {,}
wobei links der Produktraum steht. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear. Es ist zwar einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1+v_2)
}
{ =} { \varphi(v_1) + \varphi(v_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) } (v)
}
{ =} { \varphi_1(v) + \varphi_2 (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wenn man also eine Komponente festhält, so gilt Additivität
\zusatzklammer {und ebenso Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation} {} {}
in der anderen Komponente. Im Produktraum gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( v_1 , \varphi_1) + (v_2 ,\varphi_2)
}
{ =} { (v_1+ v_2,\varphi_1+\varphi_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Psi ( ( v_1, \varphi_1 ) + ( v_2, \varphi_2 ) )
}
{ =} { \Psi ( ( v_1+v_2, \varphi_1 + \varphi_2 ) )
}
{ =} { { \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) } { \left( v_1+v_2 \right) }
}
{ =} { \varphi_1 { \left( v_1+v_2 \right) } + \varphi_2 { \left( v_1+v_2 \right) }
}
{ =} { \varphi_1(v_1) + \varphi_1(v_2) + \varphi_2(v_1) + \varphi_2(v_2)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \neq} { \varphi_1(v_1) + \varphi_2(v_2)
}
{ =} { \Psi ( ( v_1, \varphi_1 )) + \Psi (( v_2, \varphi_2 ) )
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
\zusatzklammer {nur in Ausnahmefällen ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_1(v_2) + \varphi_2(v_1)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}