Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 14/latex
\setcounter{section}{14}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller36.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Auch mit dem Ball spielt sie gern.} }
\bildlizenz { Waeller36.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Linearformen}
\inputbeispiel{}
{
In einem Laden stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf an. Ein Einkauf wird durch ein $n$-Tupel
\zusatzklammer {Einkaufstupel} {} {}
beschrieben, wobei der $i$-te Eintrag angibt, wie viel vom $i$-ten Produkt gekauft wird
\zusatzklammer {bezogen auf eine jeweilige Einheit} {} {.}
Die Menge der Einkäufe
\zusatzklammer {einschließlich der Rückgaben} {} {}
bilden einen $n$-dimensionalen Vektorraum. Eine Preisliste für die Produkte wird ebenfalls durch ein $n$-Tupel
\zusatzklammer {Preistupel} {} {}
beschrieben, wobei jetzt der $i$-te Eintrag angibt, wie viel das $i$-te Produkt kostet
\zusatzklammer {bezogen auf die gleiche Einheit} {} {.}
Die Menge der Preistupel bildet ebenfalls einen $n$-dimensionalen Vektorraum
\zusatzklammer {man denke an Preisvergleich, Preissteigerung, Mehrwertsteuer, etc.} {} {.}
Es ist aber offenbar unsinnig, ein Einkaufstupel und ein Preistupel als Elemente im gleichen Vektorraum zu betrachten und miteinander zu addieren. Im Gegenteil, die richtige Verarbeitung eines Einkauftupels
$\left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)$
und eines Preistupels
\mathl{\left( p_1 , \, p_2 , \, \ldots , \, p_n \right)}{} ist es, den Gesamtpreis
\mathl{\sum_{i = 1}^n p_ix_i}{} zu bestimmen, der zu $\R$ gehört. Einkaufstupel und Preistupel sind \stichwort {dual} {} zueinander, der Preistupelvektorraum ist dual zum Einkaufstupelvektorraum.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {V } {K } {} heißt eine \definitionswort {Linearform}{} auf $V$.
}
\inputbeispiel{}
{
Eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
auf dem $K^n$ ist von der Form
\maabbeledisp {} {K^n} {K
} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \sum_{i =1 }^n a_ix_i
} {,}
zu einem Tupel
\mathl{\left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right)}{.} Besonders einfache Linearformen sind die Projektionen
\maabbeledisp {p_j} {K^n} {K
} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { x_j
} {.}
Die Nullabbildung nach $K$ ist ebenfalls eine Linearform, die man auch die \stichwort {Nullform} {} nennt.
}
Wir haben schon eine Vielzahl von Linearformen kennengelernt, beispielsweise die Preisfunktion bei einem Einkauf verschiedener Produkte oder der Vitamingehalt von Obstsalaten aus verschiedenen Obstsorten. Bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ und einer Basis $w$ von $K$
\zusatzklammer {dabei ist $w$ einfach ein von $0$ verschiedenes Element aus $K$} {} {}
besteht die beschreibende Matrix zu einer Linearform einfach aus einer Zeile mit $n$ Einträgen.
\inputbeispiel{}
{
Eine Reihe von prominenten Bespielen von Linearformen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finden sich in der Analysis. Zu einem reellen Intervall
\mathl{[a,b]}{} sind die Menge der Funktionen
\mathl{\operatorname{Abb} ( [a,b], \R)}{} bzw. die Menge der stetigen Funktionen
\mathl{C([a,b],\R)}{} bzw. die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen
\mathl{C^1([a,b],\R)}{} reelle
\zusatzklammer {ineinander enthaltene} {} {}
Vektorräume. Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist jeweils die Auswertung
\mathl{f \mapsto f(P)}{} eine Linearform
\zusatzklammer {wegen der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation auf diesen Räumen} {} {.}
Ebenso ist die Auswertung der Ableitung
\maabbeledisp {} { C^1([a,b],\R) } {\R
} {f} {f'(P)
} {,}
eine Linearform. Für
\mathl{C([a,b],\R)}{} ist ferner das Integral, also die Abbildung
\maabbeledisp {} { C([a,b],\R)} { \R
} {f} { \int_a^b f(t) dt
} {,}
eine Linearform. Dies beruht auf der Linearität des Integrals.
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zu einer
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {K
} {}
und einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {fw} {V} {W
} {v} {f(v) w
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{.}
Es handelt sich einfach um die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {V \stackrel{f}{\longrightarrow} K \stackrel{\iota_w}{\longrightarrow} W} { , }
wobei $\iota_w$ die Abbildung
\maabb {} {s} {sw
} {}
bezeichnet.
}
Der Kern der Nullform ist der gesamte Raum, ansonsten besitzt der Kern einer jeden Linearform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Dimension
\mathl{\dim_{ K } { \left( V \right) } -1}{.} Dies folgt aus
der Dimensionsformel.
Abgesehen von der Nullform ist eine Linearform stets surjektiv.
{Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n-1$-dimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabb {f} {V} {K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 14.5. }
\inputfaktbeweis
{Vektor/Linearform/Nulltest/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedener Vektor.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabb {f} {V} {K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der eindimensionale
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Kv
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt ein
\definitionsverweis {direktes Komplement}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { Kv \oplus U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Projektion auf $Kv$ zu dieser Zerlegung bildet $v$ auf $1$ ab.
{Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Zu jedem $k$ gebe es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {\varphi_k} { V} {K
} {}
mit
\mathdisp {\varphi_k(v_k) \neq 0 \text{ und } \varphi_k(v_i) = 0 \text{ für } i \neq k} { . }
}
\faktfolgerung {Dann sind die
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 14.7. }
\zwischenueberschrift{Der Dualraum}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Dann heißt der
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der \definitionswort {Dualraum}{} zu $V$.
}
Die Addition und die Skalarmultiplikation sind wie allgemein im Fall von Homomorphismenräumen definiert, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f+g)(v)
}
{ \defeq }{f(v)+g(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(s f)(v)
}
{ \defeq }{s \cdot f(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei endlichdimensionalem $V$ ist nach
Korollar 13.12
die Dimension des Dualraumes ${ V }^{ * }$ gleich der Dimension von $V$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Dann nennt man die
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1^* , \ldots , v_n^*
}
{ \in} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die durch\zusatzfussnote {Das so definierte Symbol heißt
\definitionsverweis {Kronecker-Delta}{}{}} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_i^* (v_j)
}
{ =} { \delta_{ij}
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } i = j\, ,\\ 0, \text{ falls } i \neq j\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt sind, die
\definitionswort {Dualbasis}{}
zur gegebenen Basis.
}
Wegen
Satz 10.10
ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform $v_i^*$ ordnet einem beliebigen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $i$-te Koordinate von $v$ bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{\sum_{j = 1}^n s_jv_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_i^*(v)
}
{ =} { v_i^* { \left( \sum_{j = 1}^n s_jv_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n s_j v_i^*(v_j)
}
{ =} { s_i
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist wichtig zu betonen, dass $v_i^*$ nicht nur von dem Vektor $v_i$, sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen \anfuehrung{dualen Vektor}{} zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf $V$ ein Skalarprodukt gegeben ist.
\inputbeispiel{}
{
Zur
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{} im $K^n$ besteht die
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
aus den Projektionen auf eine Komponente, also
gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_i^*
}
{ = }{p_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\maabbeledisp {p_i} { K^n} { K
} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { x_i
} {.}
Sie heißt die \stichwort {Standarddualbasis} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.}}
\faktfolgerung {Dann bildet die
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1^* , \ldots , v_n^*
}
{ \in} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Basis des
\definitionsverweis {Dualraums}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{j = 1}^n a_jv_j^*
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_j
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn wir diese Linearform auf $v_i$ anwenden, so ergibt sich direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{} sind also
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
Nach
Korollar 13.12
besitzt der Dualraum die Dimension $n$, daher muss bereits eine Basis vorliegen.
\inputfaktbeweis
{Basis/Dualbasis/Tautologisches Lemma/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} und der
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1^* , \ldots , v_n^*
}
{ \in} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^n v_i^*(v) v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. die Linearformen $v_i^*$ ergeben die Skalare
\zusatzklammer {Koordinaten} {} {}}
\faktzusatz {}
eines Vektors bezüglich einer Basis.
}
{
Der Vektor $v$ hat eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{j =1}^n s_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1 }^n v_i^*(v) v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^n v_i^* { \left( \sum_{j =1}^n s_j v_j \right) } v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^n s_i v_i
}
{ =} { v
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ mit der
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{.} Es sei
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{} eine weitere Basis mit der
Dualbasis
\mathl{w_1^* , \ldots , w_n^*}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_r
}
{ =} { \sum_{ k = 1}^n a_{kr} v_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w_j^*
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( b_{ij} \right) }_{ij}
}
{ = }{ { { \left( A^{-1} \right) } ^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Transponierte}{}{}
der
\definitionsverweis {inversen Matrix}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{kr} \right) }_{kr}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^* \right) } (w_r)
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^* \right) } { \left( \sum_{k = 1}^n a_{kr} v_k \right) }
}
{ =} { \sum_{1 \leq i,k \leq n} b_{ij} a_{kr} v_i^*(v_k)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_{ij} a_{ir}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Hier steht das \anfuehrung{Produkt}{} aus der $j$-ten Spalte von $B$ und der $r$-ten Spalte von $A$, also das Produkt aus der $j$-ten Zeile von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { B^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ A^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der $r$-ten Spalte von $A$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies $1$ und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies $0$. Daher stimmt die angegebene Linearform mit $w_j^*$ überein.
Mit Basiswechselmatrizen kann man dies auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ w^* } }_{ \mathfrak{ v^* } }
}
{ =} { { ({ \left( M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } } \right) }^{-1}) ^{ \text{tr} } }
}
{ =} { { (M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }) ^{ \text{tr} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den $\R^2$ mit der Standardbasis
\mathl{e_1,e_2}{,} seiner Dualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} und die Basis bestehend aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_2
}
{ = }{ \begin{pmatrix} -1 \\3 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir wollen die Dualbasis
\mathkor {} {u_1^*} {und} {u_2^*} {}
als Linearkombinationen der Standarddualbasis ausdrücken, also in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_1^*
}
{ =} { ae_1^* + be_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bzw. in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_2^*
}
{ = }{ ce_1^* + de_2^*
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
die Koeffizienten
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\zusatzklammer {bzw. $c$ und $d$} {} {}
bestimmen. Dabei ist
\mathkor {} {a = u_1^*(e_1)} {und} {b = u_1^*(e_2)} {.}
Um dies berechnen zu können, müssen wir
\mathkor {} {e_1} {und} {e_2} {}
als Linearkombination der
\mathkor {} {u_1} {und} {u_2} {}
ausdrücken. Dies ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e_1
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -1 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e_2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} + { \frac{ 2 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -1 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { u_1^*(e_1)
}
{ =} { u_1^* { \left( { \frac{ 3 }{ 7 } } u_1 - { \frac{ 1 }{ 7 } } u_2 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und entsprechend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {u_1^*(e_2)
}
{ =} { u_1^* { \left( { \frac{ 1 }{ 7 } } u_1 + { \frac{ 2 }{ 7 } } u_2 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_1^*
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } } e_1^* + { \frac{ 1 }{ 7 } } e_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit den gleichen Rechnungen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_2^*
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 7 } } e_1^* + { \frac{ 2 }{ 7 } } e_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
von
\mathl{u^*}{} zu
\mathl{e^*}{} ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u^* } }_{ \mathfrak{ e^* } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & - { \frac{ 1 }{ 7 } } \\ { \frac{ 1 }{ 7 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die transponierte Matrix davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { { \left( M^{ \mathfrak{ u^* } }_{ \mathfrak{ e^* } } \right) } ^{ \text{tr} } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & { \frac{ 1 }{ 7 } } \\ - { \frac{ 1 }{ 7 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}^{-1}
}
{ =} { { \left( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ e } } \right) }^{-1}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die umgekehrte Aufgabe, die Standarddualbasis durch
\mathkor {} {u_1^*} {und} {u_2^*} {}
auszudrücken, ist einfacher zu lösen, da man dies aus der Darstellung der $u_i$ bezüglich der Standardbasis direkt ablesen kann. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_1^*
}
{ =} { 2u_1^* + u_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_2^*
}
{ =} { - u_1^* + 3 u_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wie man überprüft, wenn man beidseitig an
\mathl{u_1,u_2}{} auswertet.
}
\zwischenueberschrift{Die Spur}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{{ \left( a _{ i j } \right) }_{ i j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) }
}
{ \defeq} {\sum_{ i = 1 }^{ n } a_{ii}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Spur}{} von $M$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {} eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben werde. Dann nennt man
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( M \right) }}{} die
\definitionswort {Spur}{}
von $\varphi$, geschrieben
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( \varphi \right) }}{.}
}
Nach Aufgabe 14.15 ist dies unabhängig von der gewählten Basis. Die Spur ist eine Linearform auf dem Vektorraum der quadratischen Matrizen bzw. auf dem Vektorraum der Endomorphismen.