Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 26/latex
\setcounter{section}{26}
Für die weitere Untersuchung von linearen Abbildungen und speziell trigonalisierbaren Abbildungen müssen wir noch eine wichtige Gesetzmäßigkeit im Polynomring über einem Körper besprechen, das \stichwort {Lemma von Bezout} {.}
\zwischenueberschrift{Das Lemma von Bezout}
Wir erinnern daran, dass ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
teilt, wenn es ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { T Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Dies entspricht der Teilbarkeitsbeziehung von ganzen Zahlen $\Z$. Von dort ist auch das Konzept von einem größten gemeinsamen Teiler bekannt.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Man sagt, dass ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionswort {gemeinsamer Teiler}{}
der gegebenen Polynome ist, wenn $T$ jedes $P_i$
\definitionsverweis {teilt}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Man sagt, dass ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionswort {größter gemeinsamer Teiler}{}
der gegebenen Polynome ist, wenn $G$ ein
\definitionsverweis {gemeinsamer Teiler}{}{}
der $P_i$ ist und wenn $G$ unter allen gemeinsamen Teilern der $P_i$ maximalen
\definitionsverweis {Grad}{}{}
besitzt.
}
Ein größter gemeinsamer Teiler ist nicht eindeutig bestimmt, da mit $G$ auch $cG$ für eine Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein größter gemeinsamer Teiler ist. Wenn man sich allerdings auf normierte Polynome beschränkt, so ist der größter gemeinsame Teiler eindeutig bestimmt.
\inputdefinition
{}
{
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißen
\definitionswort {teilerfremd}{,}
wenn sie außer den Konstanten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine
\definitionsverweis {gemeinsamen Teiler}{}{}
besitzen.
}
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
über $K$. Es sei $G$ ein
\definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{}
der $P_i$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { Q_1 P_1 + \cdots + Q_n P_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_1 , \ldots , Q_n
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { { \left\{ Q_1P_1 + \cdots + Q_nP_n \mid Q_i \in K[X] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
von
\mathl{K[X]}{,} wie man direkt überprüft. Nach
Satz 20.10
ist dieses Ideal ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I
}
{ =} { (E)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen Polynom $E$. Es ist $E$ ein gemeinsamer Teiler der $P_i$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ \in }{ I
}
{ = }{ (E)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ =} { H_i E
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $E$ ist ein Teiler von jedem $P_i$. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ \in} { (G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$ und damit auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (E)
}
{ =} { I
}
{ \subseteq} { (G)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E
}
{ =} { G F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da nach Voraussetzung $G$ den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Konstante sein. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (G)
}
{ =} {(E)
}
{ =} { I
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist $G$ eine Linearkombination der $P_i$.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Teilerfremd/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} teilerfremde
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q_1 P_1 + \cdots + Q_n P_n
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_1 , \ldots , Q_n
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 26.4.
\inputbemerkung
{}
{
Zu gegebenen Polynomen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lässt sich sowohl der größte gemeinsame Teiler $G$ bestimmen als auch eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { Q_1 P_1 + \cdots + Q_n P_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wie in
Satz 26.4
explizit angegeben. Dazu kann man sich auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschränken. Es sei der Grad von $P_1$ mindestens so groß wie der Grad von $P_2$. Die
Division mit Rest
liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_1
}
{ =} { P_2 H_2 + R_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Restpolynom, dessen Grad kleiner als der Grad von $P_2$ ist bzw. das $0$ ist. Entscheidend ist, dass die Ideale
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P_1,P_2)
}
{ =} { (P_2, R_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit der größte gemeinsame Teiler von
\mathkor {} {P_1} {und} {P_2} {}
und von
\mathkor {} {P_2} {und} {R_2} {}
übereinstimmen. Nun führt man die Division mit Rest durch, bei der $P_2$ durch $R_2$ mit dem Rest $R_3$ geteilt wird, wobei wiederum das Ideal
\mathl{(R_2,R_3)}{} mit dem Ausgangsideal übereinstimmt. So erhält man eine Folge von Restpolynomen
\mathdisp {R_0=P_1, R_1=P_2, R_2 , \ldots , R_k \neq 0, 0} { , }
wobei zwei benachbarte Reste das gleiche Ideal erzeugen. Es ist dann $R_k$
\zusatzklammer {also der letzte von $0$ verschiedene Rest} {} {}
der größte gemeinsame Teiler von
\mathkor {} {R_0} {und} {R_1} {.}
Eine Darstellung von $R_k$ als Linearkombination der $R_0,R_1$ erhält man, indem man die Gleichungen, die die Division mit Rest beschreiben, von unten nach oben zurückarbeitet.
} Das in der vorstehenden Bemerkung beschriebene Verfahren heißt \stichwort {euklidischer Algorithmus} {.} Es gilt entsprechend auch für ganze Zahlen.
\inputbeispiel{}
{
Wir möchten den
\definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{}
für die beiden Polynome
\mathkor {} {X^2+X+1} {und} {X-1} {}
aus $\Q[X]$ berechnen. Dazu führt man die
\definitionsverweis {Division mit Rest}{}{}
durch und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X +2 \right) } { \left( X- 1 \right) } + 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind die beiden Polynome teilerfremd. Eine Darstellung der $1$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( X^2+X+1 \right) } - { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( X +2 \right) } { \left( X- 1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Wir erwähnen noch das Lemma von Bezout für die ganzen Zahlen.
{Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jede Menge von ganzen Zahlen
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{}}
\faktfolgerung {besitzt einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} darstellen, d.h. es gibt ganze Zahlen
\mathl{r_1 , \ldots , r_n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_1a_1+r_2a_2 + \cdots +r_na_n
}
{ =} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere gibt es zu teilerfremden ganzen Zahlen
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Darstellung der $1$.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 26.10. }
\zwischenueberschrift{Haupträume}
Wir wollen weiterhin untersuchen, inwiefern man trigonalisierbare Abbildungen durch Matrizen beschreiben kann, die nicht nur obere Dreiecksgestalt haben, sondern darüber hinaus noch weitere einfache Eigenschaften erfüllen. Dafür gehen wir zwei Schritte. In dieser Vorlesung werden wir eine trigonalisierbare Abbildung als direkte Summe von Abbildungen auf Haupträumen darstellen. In den nächsten beiden Vorlesungen werden wir die Endomorphismen auf den Haupträume selbst studieren.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
$\varphi$ auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und einem
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ =} { \bigcup_{n \in \N} \operatorname{kern} { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id} \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Hauptraum}{}
zu $\varphi$ zu diesem Eigenwert.
}
Wenn $V$ endlichdimensional ist, so wird die Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id} \right) }
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id} \right) }^2
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id} \right) }^3
}
{ \subseteq} { ...
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stationär, d.h. es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ =} { \operatorname{kern} { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id} \right) }^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Haupträume sind nach
Aufgabe 26.28
invariant unter der linearen Abbildung. Es gilt nach Definition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei für diagonalisierbares $\varphi$ Gleichheit gilt, siehe
Aufgabe 26.22.
Trigonalisierbare Abbildungen werden wir über ihre Haupträume verstehen.
\inputfaktbeweis
{Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Zerlegung/Direkte Summe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { P \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
in
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt die
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{kern} P(\varphi) \oplus \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei diese Räume
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
sind. Die Einschränkung von
\mathl{P(\varphi)}{} auf den
\mathl{\operatorname{kern} Q(\varphi)}{} ist bijektiv.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
dem Lemma von Bezout
gibt es Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{SP+TQ
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{kern} P(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem Satz von Cayley-Hamilton
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \chi_{ \varphi } (\varphi)
}
{ =} { ( P(\varphi) \circ Q(\varphi) ) (v)
}
{ =} { P(\varphi)( Q(\varphi) (v))
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit gehört das Bild von $Q(\varphi)$ zum Kern von $P(\varphi)$ und umgekehrt. Aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{v
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V } ( v )
}
{ =} { (SP+TQ)(\varphi) (v)
}
{ =} { S(\varphi) (P(\varphi) (v)) + T (\varphi) (Q(\varphi) (v) )
}
{ =} { P(\varphi) ( S(\varphi) (v)) + Q(\varphi) (T (\varphi) (v) )
}
}
{}
{}{}
kann man ablesen, dass der linke Summand zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} P(\varphi)
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der rechte Summand zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} Q(\varphi)
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} P(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört. Es liegt also eine Summenzerlegung vor, die direkt ist, da aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(\varphi)(v)
}
{ = }{ Q(\varphi)(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Für die
$\varphi$-\definitionsverweis {Invarianz}{}{}
der Räume siehe
Aufgabe 26.28.
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { S(\varphi) ( P (\varphi) (v)) + T(\varphi) (Q (\varphi) (v) )
}
{ =} { S(\varphi) ( P (\varphi) (v))
}
{ =} { P(\varphi) ( S (\varphi) (v))
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} P(\varphi)
}
{ = }{ \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist die Einschränkung von
\mathl{P(\varphi)}{} auf den Kern von $Q(\varphi)$ surjektiv, also bijektiv.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über $\R$, das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { X^3-1
}
{ =} { (X-1) { \left( X^2+X+1 \right) }
}
{ =} { P\cdot Q
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die beiden Faktoren
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind. Wir überprüfen
Lemma 26.10
an diesem Beispiel. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(M)
}
{ =} { M - E_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} P(M)
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ 1 } { \left( M \right) }
}
{ =} { \R \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(M)
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} Q(M)
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R^3
}
{ =} { \R \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix} \oplus \langle \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P(M) \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 \\2\\ -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { - \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P(M) \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 \\-1\\ 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { - \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
woraus man ablesen kann, dass die Einschränkung von $P(M)$ auf
\mathl{\operatorname{kern} Q(M)}{} bijektiv ist. Die Darstellung der $1$ aus
Beispiel 26.7
führt zur Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \end{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des
\definitionsverweis {Hauptraumes}{}{}
\mathl{\operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)}{} gleich der
\definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{}
von $\lambda$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $\varphi$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { (X- \lambda)^k Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{(X- \lambda)}{} in $Q$ nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. $k$ ist die algebraische Vielfachheit von $\lambda$. Dann sind
\mathkor {} {P=(X-\lambda)^k} {und} {Q} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und nach
Lemma 26.10
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { \operatorname{kern} P(\varphi) \oplus \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {P(\varphi) = { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id} \right) }^k} { \operatorname{kern} Q(\varphi) } { \operatorname{kern} Q(\varphi)
} {}
ist eine Bijektion. Es ist ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ \defeq} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ =} { \operatorname{kern} P(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Inklusion
\mathl{\supseteq}{} klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von
\mathl{X- \lambda}{} wegen der eben erwähnten Bijektivität auf
\mathl{\operatorname{kern} Q(\varphi)}{} keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach
Lemma 23.7
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { \chi_1 \cdot \chi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\chi_1$ das charakteristische Polynom zu
\mathl{\varphi{{|}}_H}{} und $\chi_2$ das charakteristische Polynom zu
\mathl{\varphi{{|}}_{ \operatorname{kern} Q(\varphi) }}{} ist. Da
\mathl{(\varphi-\lambda)^k}{} auf $H$ die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu
\mathl{\varphi{{|}}_H}{} und damit auch das charakteristische Polynom $\chi_1$ eine Potenz von
\mathl{(X-\lambda)}{,} sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_1
}
{ =} { (X- \lambda)^d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sei. Insbesondere ist somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \leq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da $\chi_1$ ein Teiler von
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ < }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
müsste $\lambda$ eine Nullstelle von $\chi_2$ sein und $\lambda$ wäre ein Eigenwert von $\varphi{{|}}_{ \operatorname{kern} Q(\varphi) }$. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass $P(\varphi)$ auf diesem Raum eine Bijektion ist.
\inputfaktbeweis
{Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und zwei
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \neq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {haben die zugehörigen
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
den Durchschnitt $0$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi) \cap \operatorname{Haupt}_{ \delta } (\varphi)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das charakteristische Polynom von $\varphi$ sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { (X-\lambda)^{k} (X- \delta)^{\ell} F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei in $F$ weder $\lambda$ noch $\delta$ eine Nullstelle sei. Nach
Satz 26.12,
angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ (X- \delta)^{\ell} F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi) \cap \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ \delta } (\varphi)
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt daraus sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi) \cap \operatorname{Haupt}_{ \delta } (\varphi)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} { V } { V
} {}
ein
\definitionsverweis {trigonalisierbarer}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}
\faktfolgerung {Dann ist $V$ die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der
\definitionsverweis {Haupträume}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda_1 } (\varphi) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Haupt}_{ \lambda_m } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_m}{} die verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
zu $\varphi$ durchläuft, und $\varphi$ ist die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der Einschränkungen
\maabbdisp {\varphi_i = \varphi{{|}}_{H_i}} { H_i } { H_i
} {}
auf den Haupträumen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { (X-\lambda_1)^{k_1} \cdots (X-\lambda_m)^{k_m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
das nach
Satz 25.10
in Linearfaktoren zerfällt, wobei die
\mathl{\lambda_i}{} verschieden seien. Wir führen Induktion über $m$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nur einen Eigenwert $\lambda$ und nur einen Hauptraum. Nach
Korollar 24.3
ist dann auch das Minimalpolynom von der Form
\mathl{(X- \lambda)^s}{} und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei die Aussage nun für kleineres $m$ bewiesen. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (X- \lambda_1)^{k_1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ (X-\lambda_2)^{k_2} \cdots (X-\lambda_m)^{k_m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sind damit in der Situation von
Lemma 26.10
und
Satz 26.12.
Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante}{}{}
Untervektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda_1 } (\varphi) \oplus \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das charakteristische Polynom ist nach
Lemma 23.7
das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach
Satz 26.12
ist
\mathl{(X- \lambda_1)^{k_1}}{} das charakteristische Polynom der Einschränkung auf den ersten Hauptraum, daher muss $Q$ das charakteristische Polynom der Einschränkung auf
\mathl{\operatorname{kern} Q(P)}{} sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also
\mathl{\operatorname{kern} Q(P)}{} die direkte Summe der Haupträume zu
\mathl{\lambda_2 , \ldots , \lambda_m}{} und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für $V$ und für $\varphi$.