Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 31

Vektorräume mit Skalarprodukt

Im ${}\mathbb {R} ^{n}$ kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorraum vorliegen. Wir diskutieren die beiden Fälle parallel und verwenden als gemeinsame Bezeichnung für ${}\mathbb {R}$ bzw. ${}{\mathbb {C} }$ das Symbol ${}{\mathbb {K} }$. Zu ${}z\in {\mathbb {C} }$ bezeichnet ${}{\overline {z}}$ die konjungiert-komplexe Zahl, bei ${}z\in \mathbb {R}$ einfach die Zahl selbst.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und

   ${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x,y_{1},y_{2}\in V$.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen im reellen Fall Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist), Symmetrie und positive Definitheit. Im komplexen Fall spricht man von sesquilinear und von hermitesch. Diese auf den ersten Blick unschöne Abweichung muss gemacht werden, um die positive Definitheit zu erhalten, was wiederum die Voraussetzung für einen sinnvollen Abstandsbegriff im Komplexen ist.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)=({\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)},{\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i},$

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Beispielsweise ist im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Standardskalarprodukt

${}\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\\6\end{pmatrix}}\right\rangle =3\cdot (-1)-5\cdot 4+2\cdot 6=-11\,.$

Definition

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem Vektorraum ${}V$ mit einem Skalarprodukt besitzt jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder durch Einschränkung ein Skalarprodukt. Insbesondere ist zu einem euklidischen Vektorraum jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder ein euklidischer Vektorraum. Jeder Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ trägt somit das eingeschränkte Standardskalarprodukt. Da es stets eine Isomorphie ${}U\cong \mathbb {R} ^{m}$ gibt, kann man auch das Standardskalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{m}$ nach ${}U$ übertragen, doch hängt dies von der gewählten Isomorphie ab und hat im Allgemeinen nichts mit dem eingeschränkten Standardskalarprodukt zu tun.

Definition

Das auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ durch

${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Beispielsweise ist

${}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}4-3{\mathrm {i} }\\2+7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2+5{\mathrm {i} }\\3-6{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\right\rangle &=(4-3{\mathrm {i} })\cdot {\overline {-2+5{\mathrm {i} }}}+(2+7{\mathrm {i} })\cdot {\overline {3-6{\mathrm {i} }}}\\&=(4-3{\mathrm {i} })\cdot (-2-5{\mathrm {i} })+(2+7{\mathrm {i} })\cdot (3+6{\mathrm {i} })\\&=-23-14{\mathrm {i} }-36+33{\mathrm {i} }\\&=-59+19{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Bemerkung  

Wenn man einen komplexen Vektorraum ${}V$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ als reellen Vektorraum auffasst, so ist durch den Realteil

$\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}$

ein reelles Skalarprodukt gegeben, siehe Aufgabe 31.3. Wegen

${}{\begin{aligned}\left\langle v,w\right\rangle &=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}+{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Re} \,{\left({\mathrm {i} }\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle iv,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$

kann man aus dem Realteil das ursprüngliche Skalarprodukt rekonstruieren.

Beispiel

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit ${}a<b$ und sei

${}V={\left\{f:[a,b]\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,,$

versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}dt\,$

und erhalten damit ein Skalarprodukt auf ${}V$. Die Additivität folgt beispielsweise aus

${}\left\langle f_{1}+f_{2},g\right\rangle =\int _{a}^{b}(f_{1}(t)+f_{2}(t)){\overline {g(t)}}dt=\int _{a}^{b}f_{1}(t){\overline {g(t)}}dt+\int _{a}^{b}f_{2}(t){\overline {g(t)}}dt=\left\langle f_{1},g\right\rangle +\left\langle f_{2},g\right\rangle \,.$

Die positive Definitheit folgt so: Wenn ${}f$ nicht die Nullfunktion ist, so sei ${}s\in [a,b]$ ein Punkt mit ${}f(s)\neq 0$. Dann ist ${}\vert {f(s)}\vert >0$ und wegen der Stetigkeit von ${}f$ gibt es dann auch eine Umgebung ${}[s-\epsilon ,s+\epsilon ]\cap [a,b]$ der Länge ${}\geq \epsilon$, auf der überall

${}\vert {f(t)}\vert \geq c>0\,$

für ein gewisses ${}c\in \mathbb {R} _{+}$ ist (man kann ${}c={\frac {\vert {f(s)}\vert }{2}}$ nehmen). Somit ist

${}\left\langle f,f\right\rangle =\int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \int _{\max {\left(a,s-\epsilon \right)}}^{\min {\left(b,s+\epsilon \right)}}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \epsilon c^{2}>0\,$

positiv.

Norm

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor ${}v\in V$ die reelle Zahl

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

die Norm von ${}v$.

Das Skalarprodukt ${}\left\langle v,v\right\rangle$ ist stets reell und nicht negativ und somit ist die Quadratwurzel eine eindeutig bestimmte reelle Zahl. Für einen komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist es gleichgültig, ob man die Norm direkt oder über den zugrunde liegenden reellen Vektorraum bestimmt, siehe Aufgabe 31.11.

Satz

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$.

Beweis

Bei ${}w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}w\neq 0$ und damit auch ${}\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}-{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus

${}\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda {\overline {\lambda }}\left\langle v,v\right\rangle =\vert {\lambda }\vert ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

${}{\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+\left\langle v,w\right\rangle +{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&\leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert .\end{aligned}}$

Aufgrund von Satz 31.8 ist dies ${}\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.

$\Box$

Mit der folgenden Aussage, der Polarisationsformel, kann man ein Skalarprodukt aus der Norm rekonstruieren.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

und bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Beziehung

$\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 31.10.

$\Box$

Normierte Vektorräume

Aufgrund von Lemma 31.9 ist die Norm zu einem Skalarprodukt eine Norm im Sinne der folgenden Definition und ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist insbesondere ein normierter Vektorraum.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle ${}v\in V$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Definition

Ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum heißt normierter Vektorraum, wenn auf ihm eine Norm ${}\Vert {-}\Vert$ definiert ist.

Auf einem euklidischen Vektorraum nennt man die über das Skalarprodukt gegebene Norm auch die euklidische Norm. Bei ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt ist

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}}\,.$

Beispiel

Im ${}{\mathbb {K} }^{n}$ ist durch

${}\Vert {x}\Vert _{\rm {max}}:={\max {\left(\vert {x_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\,$

eine Norm definiert, die die Maximumsnorm heißt.

Die Summenmetrik heißt auch Taxi-Metrik. Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.

Beispiel

Im ${}{\mathbb {K} }^{n}$ ist durch

${}\mid \mid \!x\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }:=\sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$

eine Norm definiert, die die Summennorm heißt.

Zu einem Vektor ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, in einem normierten Vektorraum ${}V$ nennt man den Vektor ${}{\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ den zugehörigen normierten Vektor. Ein solcher normierter Vektor besitzt die Norm ${}1$. Der Übergang zum normierten Vektor heißt Normierung.

Normierte Räume als metrische Räume

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Definition

Auf einem normierten Vektorraum ${}V$ mit Norm ${}\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Metrik durch

${}d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$

Dies ist in der Tat eine Metrik.

Lemma

Ein normierter Vektorraum ${}V$ ist durch die zugehörige Metrik

ein metrischer Raum.

Beweis

Siehe Aufgabe 31.17.

$\Box$

Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum.

Bemerkung  

Ein affiner Raum über einem normierten Vektorraum ${}V$ wird zu einem metrischen Raum, indem man

${}d(P,Q)=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,$

setzt. Diese Metrik ist invariant unter Translationen.

Beispiel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Dann ist ${}T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man

${}d_{T}(x,y):=d(x,y)\,$

für alle ${}x,y\in T$ setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.

Daher ist insgesamt jede Teilmenge eines affinen Raumes über einem euklidischen oder normierten Vektorraum ein metrischer Raum.

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