Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 58/latex
\setcounter{section}{58}
\zwischenueberschrift{Eigenschaften des Dachprodukts}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} der Dimension $m$. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann bilden die Dachprodukte
\mathdisp {v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_n} \text{ mit } 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m} { }
eine Basis von
\mathl{\bigwedge^n V}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.\leerzeichen{}}{}{}
{ Da die Elemente der Form
\mathl{w_1 \wedge \ldots \wedge w_n}{} nach
Lemma 57.5 (1)
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{\bigwedge^n V}{} bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes $w_j$ gibt es eine Darstellung
\mathl{w_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} v_i}{,} daher kann man nach
Lemma 57.5 (4)
die
\mathl{w_1 \wedge \ldots \wedge w_n}{} als
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also
\mathl{v_{k_1} \wedge \ldots \wedge v_{k_n}}{} gegeben mit
\mathl{k_j \in \{1 , \ldots , m\}}{.} Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach
Lemma 57.5 (3)
\zusatzklammer {unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens} {} {}
erreichen, dass die Indizes
\zusatzklammer {nicht notwendigerweise streng} {} {}
aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach
Lemma 57.5 (2)
das Dachprodukt $0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
zeigen wir unter Verwendung von
Lemma 14.7,
dass es zu jeder $n$-elementigen Teilmenge
\mathl{I=\{i_1 , \ldots , i_n\} \subseteq \{1 , \ldots , m\}}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{i_1 < \ldots < i_n}{}} {} {}
eine $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {} {\bigwedge^n V} {K
} {}
gibt, die
\mathl{v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_n}}{} nicht auf $0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf $0$ abbildet. Dazu genügt es nach
Satz 57.7,
eine
\definitionsverweis {alternierende}{}{}
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\triangle} {V^n} {K
} {}
anzugeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle { \left( v_{i_1} , \ldots , v_{i_n} \right) }
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aber mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle { \left( v_{j_1} , \ldots , v_{j_n} \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei $U$ der von den
\mathbed {v_i} {}
{i \neq i_k} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{}
von $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ V/U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{.}
Dann bilden die Bilder der
\mathbed {v_{i_k}} {}
{k=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von $W$, und die Bilder von allen anderen $n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf $0$ geht. Wir betrachten nun die
\definitionsverweis {zusammengesetzte}{}{}
Abbildung
\mathdisp {\triangle: V^n \longrightarrow W^n \cong (K^n)^n \stackrel{ \det }{ \longrightarrow} K} { . }
Diese Abbildung ist nach
Satz 16.9
multilinear und nach
Satz 16.10
alternierend. Nach
Satz 16.11
ist
\mathl{\triangle(z_1 , \ldots , z_n) =0}{} genau dann, wenn die Bilder von $z_i$ in $W$ keine Basis bilden.}
{}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ K^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Standardbasis
\mathl{e_1 , \ldots , e_m}{} nennt man die
\mathbed {e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_n}} {mit}
{i_1 < \ldots < i_n} {}
{} {} {} {}
die \stichwort {Standardbasis} {} von
\mathl{\bigwedge^n K^m}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Zu Basen
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} und
\mathl{w_1 , \ldots , w_m}{} eines
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$ mit den Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m a_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhält man zwischen den Basen
\mathdisp {v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_n} \text{ mit } 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m \text{ und } w_{i_1} \wedge \ldots \wedge w_{i_n} \text{ mit } 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m} { }
des
\mathl{\bigwedge^n V}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_{j_1} \wedge \ldots \wedge v_{j_n}
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i_1 < \cdots < i_n \leq m} { \left( \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{ s= 1}^n a_{i_s j_{ \pi (s)} } \right) } w_{i_1} \wedge \ldots \wedge w_{i_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Dies beruht gemäß
Lemma 57.5 (4)
auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ v_{j_1} \wedge \ldots \wedge v_{j_n}
}
{ =} {{ \left( \sum_{i = 1}^m a_{i j_1 } w_i \right) } \wedge \ldots \wedge { \left( \sum_{i = 1}^m a_{i j_n} w_i \right) }
}
{ =} { \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_n \leq m } { \left( \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{ s= 1}^n a_{i_s j_{ \pi (s)} } \right) } w_{i_1} \wedge \ldots \wedge w_{i_n}
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} der Dimension $m$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt das $n$-te
\definitionsverweis {äußere Produkt}{}{}
\mathl{\bigwedge^n V}{} die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathdisp {\binom{m}{n}} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 58.1 und Aufgabe 3.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Insbesondere ist die äußere Potenz für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindimensional
\zusatzklammer {es ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \bigwedge^0 V
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$m$-dimensional
\zusatzklammer {es ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \bigwedge^1 V
}
{ = }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\bigwedge^m V}{} eindimensional, und die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
induziert
\zusatzklammer {nach einer Identifizierung von $V$ mit $K^m$} {} {}
einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {\bigwedge^m V } { K
} {(v_1 , \ldots , v_m) } {\det (v_1 , \ldots , v_m)
} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension $0$.
Wir erweitern die in der letzten Vorlesung gezeigte natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \bigwedge^n V \right) }^*
}
{ \cong} { \operatorname{Alt}^n (V,K)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einer natürlichen Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n V^*
}
{ \cong} { { \left( \bigwedge^n V \right) }^*
}
{ \cong} { \operatorname{Alt}^n (V,K)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein
\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{k \in \N}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
\maabbdisp {\psi} { \bigwedge^k V^*} {{ \left( \bigwedge^k V \right) }^*
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\psi(f_1 \wedge \ldots \wedge f_k)) (v_1 \wedge \ldots \wedge v_k)
}
{ =} { \det (f_i (v_j))_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{f_i \in V^*}{} und \mathlk{v_j \in V}{}} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Abbildung
\zusatzklammer {mit $k$ Faktoren} {} {}
\maabbdisp {} { V^* \times \cdots \times V^*} { \operatorname{Abb} \, (V \times \cdots \times V,K)
} {}
mit
\mathdisp {(f_1 , \ldots , f_k) \longmapsto { \left( (v_1 , \ldots , v_k ) \longmapsto \det { \left( f_i (v_j) \right) }_{ij} \right) }} { . }
Für fixierte
\mathl{f_1 , \ldots , f_k}{} ist die Abbildung rechts
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
und
\definitionsverweis {alternierend}{}{,}
wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach
Korollar 57.8
einem Element in
\mathl{{ \left( \bigwedge^k V \right) }^*}{.} Insgesamt liegt also eine Abbildung
\maabbdisp {} {V^* \times \cdots \times V^* } { { \left( \bigwedge^k V \right) }^*
} {}
vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund
der universellen Eigenschaft
gibt es daher eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {\bigwedge^k V^* } { { \left( \bigwedge^k V \right) }^*
} {.}
Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{.} Nach
Satz 58.1
bilden die
\mathbeddisp {v_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge v_{i_k}^*} {}
{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von
\mathl{\bigwedge^k V^*}{.} Ebenso bilden die
\mathbeddisp {v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k}} {}
{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von
\mathl{\bigwedge^k V}{} mit zugehöriger Dualbasis
\mathl{{ \left( v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \right) }^*}{.} Wir zeigen, dass
\mathl{v_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge v_{i_k}^*}{} unter $\psi$ auf
\mathl{( v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} )^*}{} abgebildet wird. Für
\mathl{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq n}{} ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left( \psi { \left( v_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge v_{i_k}^* \right) } \right) } { \left( v_{j_1} \wedge \ldots \wedge v_{j_k} \right) }
}
{ =} { \det { \left( v_{i_r}^* { \left( v_{j_s} \right) }_{1 \leq r, s \leq k} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{i_1 , \ldots , i_k \}
}
{ \neq }{ \{j_1 , \ldots , j_k \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein $i_r$, das von allen $j_s$ verschieden ist. Daher ist die $r$-te Zeile der Matrix $0$ und somit ist die Determinante $0$. Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{}
mit der Determinante $1$. Diese Wirkungsweise stimmt mit der von
\mathl{{ \left( v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \right) }^*}{} überein.
\zwischenueberschrift{Dachprodukte bei linearen Abbildungen}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Existenz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mathl{n \in \N}{} eine $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\bigwedge^n \varphi} {\bigwedge^n V} { \bigwedge^n W
} {} mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \mapsto \varphi(v_1) \wedge \ldots \wedge \varphi(v_n)}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung
\mathdisp {V^n \stackrel{\varphi \times \cdots \times \varphi}{\longrightarrow} W^n \stackrel{\delta}{\longrightarrow} \bigwedge^n W} { }
ist nach
Aufgabe 16.29
\definitionsverweis {multilinear}{}{} und
\definitionsverweis {alternierend}{}{.}
Daher gibt es nach
Satz 57.7
eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
\maabbdisp {} {\bigwedge^n V} {\bigwedge^n W
} {}
mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \mapsto \varphi(v_1) \wedge \ldots \wedge \varphi(v_n)}{.}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zu
\mathl{n \in \N}{} sei
\maabbdisp {\bigwedge^n \varphi} {\bigwedge^n V} { \bigwedge^n W
} {} die zugehörige $K$-lineare Abbildung.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, dann ist auch
\mathl{\bigwedge^n \varphi}{} surjektiv.
}{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, dann ist auch
\mathl{\bigwedge^n \varphi}{} injektiv.
}{Wenn $U$ ein weiterer $K$-Vektorraum und
\maabbdisp {\psi} {U} {V
} {}
eine weitere $K$-lineare Abbildung ist, so gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n ( \varphi \circ \psi)
}
{ =} { { \left( \bigwedge^n \varphi \right) } \circ { \left( \bigwedge^n \psi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Es seien
\mathl{w_1 , \ldots , w_n \in W}{} gegeben und seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} Urbilder davon, also
\mathl{\varphi(v_i)=w_i}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \bigwedge^n \varphi \right) } ( v_1 \wedge \ldots \wedge v_n)
}
{ =} { w_1 \wedge \ldots \wedge w_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 57.5 (1)
ergibt sich die Surjektivität.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Wir können
aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes
annehmen, dass
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in
Satz 58.1.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem
\mathl{u_1 \wedge \ldots \wedge u_n}{} mit
\mathl{u_i \in U}{} zu zeigen, wofür es klar ist.}
{}
\zwischenueberschrift{Orientierungen und das Dachprodukt}
Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$.}
\faktfolgerung {Dann entsprechen durch die
\definitionsverweis {Zuordnung}{}{}
\mathdisp {[v_1 , \ldots , v_n] \longmapsto [ v_1 \wedge \ldots \wedge v_n ]} { }
die
\definitionsverweis {Orientierungen}{}{}
auf $V$ den Orientierungen auf
\mathl{\bigwedge^n V}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathkor {} {v_1 , \ldots , v_n} {und} {w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ mit der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gilt
nach Korollar 57.6
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} { ( \det M) w_1 \wedge \ldots \wedge w_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus die
\definitionsverweis {Wohldefiniertheit der Abbildung}{}{}
und die Aussage folgt.