Kurs:Maß- und Integrationstheorie/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	7	1	9	5	7	4	8	4	4	0	4	3	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Topologie auf einer Menge ${}X$.
2. Ein Maß auf einem Messraum ${}(M,{\mathcal {A}})$.
3. Ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
4. Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
5. Ein Banachraum.
6. Die (komplexen) Fourierkoeffizienten zu einer ${}T$-periodischen Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Die Transformationsformel für Integrale zu einem ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow H,$

   wobei ${}G$ und ${}H$

   offene Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind.
3. Das Dichtheitskriterium für eine Teilmenge ${}T\subseteq V$ in einem ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum ${}V$.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge ${}1$ (das Einheitsquadrat) wird als ${}1$ festgelegt.

1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}a,b\in \mathbb {N}$ sind, den Flächeninhalt ${}ab$ besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}x,y\in \mathbb {Q} _{+}$ sind, den Flächeninhalt ${}xy$ besitzt.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

$p_{1}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

die lineare Projektion auf die erste Komponente. Man skizziere drei messbare Teilmengen ${}T_{1},T_{2},T_{3}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ derart an, dass ihr Flächeninhalt gleich ${}0$ bzw. ${}1$ bzw. ${}\infty$ ist und deren Bild in ${}\mathbb {R}$ die Länge ${}1$ besitzt.

Aufgabe * (9 (2+4+3) Punkte)

Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen ${}30$ und ${}20$ cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von ${}0{,}5$ cm herausgestanzt werden.

a) Zeige, dass man höchstens ${}3057$ Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

b) Zeige, dass man mindestens ${}2607$ Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten das von den beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ erzeugte Parallelogramm ${}P$. Man gebe ein explizites achsenparalleles Quadrat (mit positivem Flächeninhalt) an, dass ganz in ${}P$ liegt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Messraum und es sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von messbaren Funktionen, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}\sigma$- Algebra der Borelmengen trägt. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,$

eine messbare Teilmenge von ${}X$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die allgemeine Transformationsformel für Integrale.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von der majorisierten Konvergenz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,$

um die ${}t$-Achse rotieren lässt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und ${}X$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ der ${}p$- integrierbaren Funktionen ein ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}T>0$ und ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$. Zeige, dass ein trigonometrisches Polynom ${}f=\sum _{n{}-N}^{N}c_{n}e^{{\mathrm {i} }\omega nt}$ höchstens ${}2N$ Nullstellen in ${}[0,T[$ besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme ein lineares Polynom ${}ax+b\neq 0$, das im Lebesgueraum ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ senkrecht auf der Exponentialfunktion ${}e^{x}$ steht.