Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Orthonormalsysteme}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Eine Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $V$ heißt \definitionswort {Orthonormalsystem}{,} wenn
\mathdisp {\left\langle v_i , v_i \right\rangle= 1 \text{ für alle } i \in I \text{ und } \left\langle v_i , v_j \right\rangle= 0 \text{ für } i \neq j} { }
gilt.
}
Zu einem gegebenen Orthonormalsystem
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
und einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spielen die Koeffizienten
\mathl{\left\langle v,v_i , \right\rangle}{} eine wichtige Rolle, man spricht von den \stichwort {Fourierkoeffizienten} {} des Vektors bezüglich des Systems, wobei diese Sprechweise insbesondere im Kontext von Fourierreihen verwendet wird. Eine wichtige Frage ist, in welcher Beziehung $v$ zu
\mathl{\sum_{i \in I} \left\langle v,v_i , \right\rangle v_i}{} steht, wobei bei $I$ unendlich zuerst zu klären ist, in welchem Sinne eine solche unendlich Summe verstanden werden kann. Im endlichen Fall haben wir folgende Beschreibung, auf die man weitere Resultate zurückführen kann.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$, sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in E} {}
{} {} {} {,}
ein endliches
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{}
mit dem davon
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{}
$U$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_U(v)
}
{ =} { \sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { v - \sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es ist nach
Korollar 21.8
lediglich zu zeigen, dass $w$ orthogonal zu den $v_j$ ist. Dies ergibt sich direkt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle w , v_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v - \sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v_j \right\rangle - \sum_{i \in E} \left\langle \left\langle v , v_i \right\rangle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v_j \right\rangle - \left\langle v , v_j \right\rangle
}
{ =} { 0
}
}
{}
{}{.}
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {MDKQ anim ohne Ausreiser1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { MDKQ anim ohne Ausreiser1.svg } {} {JoKalliauer} {Commons} {} {}
Es sei $E$ eine endliche Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { {\mathbb K}^E
}
{ \cong} { {\mathbb K}^{ { \# \left( E \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der ${\mathbb K}$-wertigen Funktionen auf $E$, versehen mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{.}
Eine Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann einfach durch eine vollständige Wertetabelle beschrieben werden. Es kann aber auch sinnvoll sein, die Funktion $f$ durch eine Funktion $g$ aus einem vorgegebenen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu approximieren. Dabei liefert das Skalarprodukt und die zugehörige
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
auf $U$ ein naheliegendes Hilfsmittel, um eine optimale Approximation zu finden. Nach
Korollar 21.7
ist
\mathl{p_U(f)}{} diejenige Funktion, die unter allen Funktionen aus $U$ zu $f$ den minimalen Abstand besitzt, wobei der Abstand zu $f$ über das Skalarprodukt gegeben ist, also durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g-f} \Vert^2
}
{ =} { \sum_{ i \in E} \betrag { g_i -f_i }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathbed {g_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $U$ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { p_U(f)
}
{ =} { \sum_{j \in J} \left\langle f , g_j \right\rangle g_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 22.2
die beste Approximation. Das so bestimmte $g$ minimiert also die Summe der einzelnen Differenzquadrate, man spricht von der \stichwort {Methode der kleinsten Fehlerquadrate} {.}
Eine typische Anwendung ist, wenn $E$ Messtellen repräsentiert, etwa
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und $f_e$ Messergebnisse, die eventuell fehlerhaft sein können. Man weiß aus physikalischen Gründen, dass die Abhängigkeit einer gewissen Gesetzmäßigkeit gehorchen muss, beispielsweise ein linearer Zusammenhang sein muss oder als Flugbahn eines Planeten eine Ellipse sein muss oder ähnliches. Diese Gesetzmäßigkeit legt den
\zusatzklammer {typischerweise niedrigdimensionalen} {} {}
Untervektorraum $U$ fest, in dem nach einer optimalen Approximation gesucht wird, das den Messergebnissen möglichst nahe kommt.
}
\inputbeispiel{}
{
Von einer unbekannten Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
sei der Datensatz
\mathl{(1,11),\, (4, 20), \, (6,23)}{} gegeben und es sei bekannt, dass $f$
eine
\definitionsverweis {affin-lineare Funktion}{}{}
sein muss. Der Datensatz beruht auf Messungen, in denen Fehler und Ungenauigkeiten vorkommen können, die drei Punkte liegen nicht wirklich auf einer Geraden. Es wird nach der affin-linearen Funktion
\mathl{ax+b}{} gesucht, die gut zu den Daten passt. Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\Psi} {\R^2} {\R^3
} {(a,b)} {(a+b,4a+b,6a+b)
} {,}
die einem Parameterpaar $(a,b)$, das die affin-lineare Funktion $ax+b$ repräsentiert, die Auswertung an den drei Punkten
\mathl{(1,4,6)}{} zuordnet. Dabei ist $\Psi$ eine
\definitionsverweis {injektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein zweidimensionaler Untervektorraum von $\R^3$. Diese Ebene steht senkrecht zum Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\5\\ -3 \end{pmatrix}}{,} eine Basis ist durch
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 5 \\2\\ 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 \\3\\ 5 \end{pmatrix}} {}
gegeben
\zusatzklammer {die unter $\Psi$ von der Basis
\mathkor {} {\begin{pmatrix} -1 \\6 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}} {}
des $\R^2$ herrührt} {} {.}
Die optimale Approximation
\zusatzklammer {im Sinne der euklidischen Norm bzw. im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate} {} {}
ist die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
des Wertetupels
\mathl{\begin{pmatrix} 11 \\20\\ 23 \end{pmatrix}}{} auf die Ebene. Dies führt zum linearen Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11 \\20\\ 23 \end{pmatrix}
}
{ =} { \alpha \begin{pmatrix} 5 \\2\\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\3\\ 5 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -2 \\5\\ -3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ = }{ { \frac{ 218 }{ 95 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ = }{ { \frac{ 901 }{ 190 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ = }{ { \frac{ 9 }{ 38 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ p_U \begin{pmatrix} 11 \\20\\ 23 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 218 }{ 95 } } \begin{pmatrix} 5 \\2\\ 0 \end{pmatrix} + { \frac{ 901 }{ 190 } } \begin{pmatrix} 0 \\3\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 190 } } \begin{pmatrix} 2180 \\3575\\ 4505 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 38 } } \begin{pmatrix} 436 \\715\\ 901 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der entsprechende Punkt auf dem $\R^2$ ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 218 }{ 95 } } \begin{pmatrix} -1 \\6 \end{pmatrix} + { \frac{ 901 }{ 190 } } \begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 190 } } \begin{pmatrix} - 436+901 \\2616-901 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 190 } } \begin{pmatrix} 465 \\ 1715 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 38 } } \begin{pmatrix} 93 \\ 343 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die beste Approximation ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { { \frac{ 93 }{ 38 } } x + { \frac{ 343 }{ 38 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(1)
}
{ = }{ { \frac{ 436 }{ 38 } }
}
{ \sim }{ 11,473
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(4)
}
{ = }{ { \frac{ 715 }{ 38 } }
}
{ \sim }{ 18,815
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(6)
}
{ = }{ { \frac{ 901 }{ 38 } }
}
{ \sim }{ 23,710
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Datensatz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} verschiedene reelle Zahlen,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} reelle Zahlen. Es sei\zusatzfussnote {\mathkork {} {\bar{x}} {bzw.} {\bar{y}} {}
bezeichnen also den Durchschnitt der Messstellen bzw. der Messwerte} {.} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bar{x}
}
{ = }{ { \frac{ \sum_{i = 1}^n x_i }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bar{y}
}
{ = }{ { \frac{ \sum_{i = 1}^n y_i }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {affin-lineare Funktion}{}{}
$ax+b$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { { \frac{ \sum_{i =1}^n (x_i- \bar{x}) y_i }{ \sum_{i =1}^n (x_i- \bar{x})^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { \bar{y} -a \bar{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die optimale lineare Approximation für den Datensatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_i)
}
{ =} { y_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Sinne der minimalen Fehlerquadrate.}
\faktzusatz {D.h. die Summe der Fehlerquadrate
\mathl{\sum_{i=1}^n (ax_i+b-y_i)^2}{} wird für die angegebenen Koeffizienten
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
minimal.}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} {\R^2} {\R^n
} {(a,b)} { \left( ax_1+b , \, \ldots , \, ax_n+b \right)
} {.}
Diese Abbildung ist
\definitionsverweis {linear}{}{}
und
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(1,0)
}
{ =} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
}
{ \defeqr} { v_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(0,1)
}
{ =} { \left( 1 , \, \ldots , \, 1 \right)
}
{ \defeqr} { v_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \operatorname{bild} \psi
}
{ =} { \langle v_1, v_2 \rangle
}
{ \subseteq} { \R^n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es geht darum, die orthogonale Projektion von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ \left( y_1 , \, \ldots , \, y_n \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $U$ zu bestimmen. Der Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_2
}
{ =} { { \frac{ v_2 }{ \Vert {v_2} \Vert } }
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } } , \, \ldots , \, { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist normiert. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix} - \bar{x} \begin{pmatrix} 1 \\\vdots\\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\\vdots\\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bildet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ \defeq} { { \frac{ v_1- \bar{x} v_2 }{ \Vert {v_1- \bar{x} v_2} \Vert } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^n { \left( x_i- \bar{x} \right) }^2 } } } \begin{pmatrix} x_1-\bar{x} \\ \vdots \\ x_n- \bar{x} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zusammen mit $u_2$ eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $U$. Es entspricht $u_2$ der konstanten Funktion ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }$ und $u_1$ der affin-linearen Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^n { \left( x_i- \bar{x} \right) }^2 } } } (x- \bar{x})}{.} Nach
Lemma 22.2
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_U \left( y \right)
}
{ =} { \left\langle y , u_1 \right\rangle u_1 + \left\langle y , u_2 \right\rangle u_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle y , u_1 \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ \sum_{i = 1}^n y_i { \left( x_i- \bar{x} \right) } }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^n { \left( x_i- \bar{x} \right) }^2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle y , u_2 \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ \sum_{i = 1}^n y_i }{ \sqrt{ n } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die optimale affin-lineare Funktion gleich
\mathdisp {{ \frac{ \sum_{i = 1}^n y_i { \left( x_i- \bar{x} \right) } }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^n { \left( x_i- \bar{x} \right) }^2 } } } \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^n { \left( x_i- \bar{x} \right) }^2 } } } (x- \bar{x}) + { \frac{ \sum_{i = 1}^n y_i }{ \sqrt{ n } } } \cdot { \frac{ 1 }{ n } }} { , }
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { { \frac{ \sum_{i = 1}^n y_i { \left( x_i- \bar{x} \right) } }{ \sum_{i=1}^n { \left( x_i- \bar{x} \right) }^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { \bar{y}- a \bar{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Den Graphen der approximierenden affin-linearen Funktion im vorstehenden Satz nennt man \stichwort {Ausgleichsgerade} {.}
\inputbeispiel{}
{
In der Situation von
Beispiel 22.4
kommt man mit
Satz 22.5
deutlich schneller ans Ziel. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bar{x}
}
{ =} { { \frac{ 1+4+6 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ a
}
{ =} { { \frac{ { \left( 1 - { \frac{ 11 }{ 3 } } \right) } \cdot 11 +{ \left( 4 - { \frac{ 11 }{ 3 } } \right) } \cdot 20 + { \left( 6 - { \frac{ 11 }{ 3 } } \right) } \cdot 23 }{ { \left( 1 - { \frac{ 11 }{ 3 } } \right) }^2 +{ \left( 4 - { \frac{ 11 }{ 3 } } \right) }^2 + { \left( 6 - { \frac{ 11 }{ 3 } } \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 8 }{ 3 } } \cdot 11 + { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot 20 + { \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } \right) } \cdot 23 }{ { \left( - { \frac{ 8 }{ 3 } } \right) }^2 +{ \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } \right) }^2 } }
}
{ =} { 3 \cdot { \frac{ -88+20+161 }{ 64+1+49 } }
}
{ =} { 3 \cdot { \frac{ 93 }{ 114 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 93 }{ 38 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { \bar{y} - a \bar{x}
}
{ =} { 18 - { \frac{ 93 }{ 38 } } \cdot { \frac{ 11 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 2052- 1023 }{ 114 } }
}
{ =} { { \frac{ 1029 }{ 114 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { { \frac{ 343 }{ 38 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Vollständige Orthonormalsysteme}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
heißt
\definitionswort {vollständig}{}
oder eine
\definitionswort {Hilbertbasis}{,}
wenn der von den $v_i$
\definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $V$ ist.
}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Besselsche Abschätzung} {.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Besselsche Abschätzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Familie
\mathbed {\betrag { \left\langle v , v_i \right\rangle }^2} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I} \betrag { \left\langle v , v_i \right\rangle }^2
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i + w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {dabei ist $w$ orthogonal zu
\mathl{\langle v_i, i \in E \rangle}{} und hängt von $E$ ab} {} {}
und erhalten aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{i \in E} \betrag { \left\langle v , v_i \right\rangle }^2
}
{ =} { \sum_{i \in E} \betrag { \left\langle v , v_i \right\rangle }^2 \left\langle v_i , v_i \right\rangle
}
{ \leq} { \sum_{i \in E} \left\langle \left\langle v , v_i \right\rangle v_i , \left\langle v , v_i \right\rangle v_i \right\rangle + \left\langle w , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i +w , \sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i +w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \Vert {v} \Vert^2
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Nach
Aufgabe 17.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist die Familie summierbar und ihre Summe ist durch $\Vert {v} \Vert^2$ beschränkt.
\inputfaktbeweis
{Hilbertraum/Orthonormalsystem/Fourierkeoffizienten/Summierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist zu einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vektorenfamilie
\mathbed {\left\langle v , v_i \right\rangle v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {summierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i} \Vert^2
}
{ =} { \sum_{i \in E} \Vert { \left\langle v , v_i \right\rangle v_i } \Vert^2
}
{ =} { \sum_{i \in E} \betrag { \left\langle v , v_i \right\rangle }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was nach
Lemma 22.8
durch $\Vert {v} \Vert^2$ beschränkt ist. Daher ist die Familie eine
\definitionsverweis {Cauchy-Familie}{}{}
und somit wegen der Vollständigkeit des Raumes nach
Lemma 19.3
summierbar.
Im Allgemeinen gibt es keinen direkten Zusammenhang zwischen $v$ und
\mathl{\sum_{i \in I} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i}{,} man denke etwa an kleine Orthonormalsysteme. Der folgende Satz charakterisiert die vollständigen Orthonormalsysteme.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Familie ist
\definitionsverweis {vollständig}{}{.}
}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{i \in I} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert^2
}
{ =} { \sum_{i \in I} \betrag { \left\langle v , v_i \right\rangle }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2). Die Vollständigkeit des Orthonormalsystems bedeutet, dass es zu jedem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Koeffiziententupel $a_i$ mit einer endlichen Trägermenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v -\sum_{i \in E} a_iv_i } \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Nach
Lemma 22.2
erfüllt erst recht
\mathl{\sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i}{} diese Eigenschaft. Dies heißt aber, dass die Summe
\mathl{\sum_{i \in I} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i}{} gleich $v$ ist. Von (2) nach (1) ergibt sich aus
Lemma 19.4.
Zum Nachweis der Äquivalenz von (2) und (3) ziehen wir für eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { v - \sum_{i \in E} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i } \Vert^2
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 - \sum_{i \in E} \betrag { \left\langle v , v_i \right\rangle }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heran. (2) bedeutet, dass die linke Seite beliebig klein wird, (3) bedeutet, dass die rechte Seite beliebig klein wird, daher sind die Eigenschaften äquivalent.
Die Gleichung in (3) des vorstehenden Satzes nennt man auch \stichwort {Parsevalsche Gleichung} {.}
{Hilbertraum/Orthonormalsystem/Ergänzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{}
in einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
$V$.}
\faktfolgerung {Dann kann man das System zu einem
\definitionsverweis {vollständigen Orthonormalsystem}{}{}
ergänzen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 22.12. }
\inputbemerkung
{}
{
In einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
kann man ein gegebenes System von
\definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{}
Vektoren
\mathbed {v_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
mit Hilfe
des Orthonomalisierungsverfahrens
im endlichdimensionalen Fall in ein abzählbar unendliches Orthonormalsystem überführen. Speziell kann man in einem
\definitionsverweis {separablen}{}{}
\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
aus jeder linear unabhängigen Familie, die einen dichten Untervektorraum erzeugt, ein abzählbares
\definitionsverweis {vollständiges Orthonormalsystem}{}{}
gewinnen.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {vollständiges Orthonormalsystem}{}{.}
Dann nennt man zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{i \in I} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Fourierentwicklung}{}
von $v$ und die rechte Seite eine
\definitionswort {Fouriersumme}{.}
Die Koeffizienten
\mathl{\left\langle v , v_i \right\rangle}{} heißen
\definitionswort {Fourierkoeffizienten}{.}
}
Im separablen Fall, wenn das vollständige Orthonormalsystem abzählbar ist und durch
\mathbed {v_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {oder $\Z$ als geordnete Indexmenge} {} {}
gegeben ist, so nennt man die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{n \in \N} \left\langle v , v_n \right\rangle v_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auch die Fourierreihe zu $v$ bezüglich des gegebenen Systems. Die Sprechweise wird insbesondere bei periodischen Funktionen der Periodenlänge $1$ mit dem trigonometrischen Orthonormalsystem verwendet, siehe insbesondere
Satz 23.6.
Bei anderer Periodenlänge ist der Sprachgebrauch nicht einheitlich.