Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 14

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

${\begin{pmatrix}3&2&6\\4&1&5\\6&-1&3\end{pmatrix}}.$

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.

Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1+3{\mathrm {i} }&5-{\mathrm {i} }\\3-2{\mathrm {i} }&4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1&3&5\\2&1&3\\8&7&4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von ${}3\times 3$- Matrizen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Multiplikation

$K\times K=K^{2}\longrightarrow K,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$

multilinear ist. Ist sie alternierend?

Aufgabe *

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ die Determinante der durch die Vektoren definierten ${}2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.

${}\,$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung und es sei

$\triangle \colon W^{m}\longrightarrow K$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung

$V^{m}\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \triangle \left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{m})\right),$

multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn ${}\triangle$ alternierend ist, dass dann auch ${}\triangle \circ \varphi ^{n}$ alternierend ist, und dass hiervon bei ${}\varphi$ bijektiv auch die Umkehrung gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

für beliebiges ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und beliebige ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$, für ${}u\in K^{n}$ und für ${}s\in K$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Zeige, dass für den Rang die Beziehungen

$\operatorname {rang} \,AB\leq \operatorname {rang} \,A{\text{ und }}\operatorname {rang} \,AB\leq \operatorname {rang} \,B$

gelten. Zeige, dass links Gleichheit gilt, falls ${}B$ invertierbar ist, und rechts Gleichheit gilt, falls ${}A$ invertierbar ist. Man gebe ein Beispiel von nicht invertierbaren Matrizen ${}A$ und ${}B$ an derart, dass links und rechts Gleichheit gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Untersuche die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times V\longrightarrow W,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$

auf Multilinearität.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }&5\\{\mathrm {i} }&1&3-{\mathrm {i} }\\2{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

unter der Voraussetzung ${}ad-bc\neq 0$ durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Determinanten aller ${}3\times 3$-Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal ${}1$ und zweimal ${}0$ steht.