Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 13

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&1-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }&4{\mathrm {i} }\\-5+7{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}+{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5+4{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }\\{\sqrt {2}}-{\mathrm {i} }&e+\pi {\mathrm {i} }\\1&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&k+2&k+1\\0&0&k+1&k\\-k&k+1&0&0\\k+1&-(k+2)&0&0\end{pmatrix}}$

für jedes ${}k\in K$ zu sich selbst invers ist.

Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

$e_{i}\circ e_{j},$

wobei links der ${}i$-te Standardvektor (der Länge ${}n$) als Zeilenvektor und rechts der ${}j$-te Standardvektor (ebenfalls der Länge ${}n$) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt ${}Me_{j}$ mit dem ${}j$-ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die ${}j$-te Spalte von ${}M$ ergibt. Was ist ${}e_{i}M$, wobei ${}e_{i}$ der ${}i$-te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$, Zeige, dass die Menge ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei ${}n\geq 2$ nicht kommutativ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung haben.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&5\\4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Es sei ${}U\subseteq K^{3}$ der durch die lineare Gleichung ${}2x+3y+4z=0$ definierte Untervektorraum von ${}K^{3}$, und ${}\psi$ sei die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$. Zu ${}U$ gehören Vektoren der Form

$u=(0,1,a),\,v=(1,0,b){\text{ und }}w=(1,c,0).$

Berechne ${}a,b,c$ und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

${\mathfrak {b}}_{1}=v,w,\,{\mathfrak {b}}_{2}=u,w{\text{ und }}{\mathfrak {b}}_{3}=u,v$

von ${}U$ sowie die beschreibenden Matrizen für ${}\psi$ bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ${}K^{2}$).

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\\5-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Der Begriff „Isomorphismus“ kommt in unterschiedlichen Zusammenhängen vor. Für Körper lautet die Definition:

Es seien ${}K$ und ${}L$ zwei Körper. Eine Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow L$

heißt Körper-Isomorphismus, wenn ${}\varphi$

bijektiv ist und wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$,
2. ${}\varphi (1)=1$,
3. ${}\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$.

Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körper-Isomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$

die

Identität ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl und es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$

die dadurch definierte Multiplikation, die eine ${}{\mathbb {C} }$- lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen ${}z_{1}$ und ${}z_{2}$ mit den beiden reellen Matrizen ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ die Produktmatrix ${}M_{2}\circ M_{1}$ die beschreibende Matrix zu ${}z_{1}z_{2}$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

$(K,+,0)\longrightarrow (\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)},\circ ,E_{n}),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}m\in \mathbb {N}$. Betrachte auf der Produktmenge ${}V^{m}$ die folgende Relation.

$(v_{1},\ldots ,v_{m})\sim (w_{1},\ldots ,w_{m}),{\text{ falls }}\langle v_{1},\ldots ,v_{m}\rangle =\langle w_{1},\ldots ,w_{m}\rangle$

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge und der Menge der Unterräume von ${}V$ der Dimension ${}\leq m$ an. Zeige ferner, dass zwei Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{m})$ und ${}(w_{1},\ldots ,w_{m})$ genau dann in dieser Relation zueinander stehen, wenn es eine invertierbare ${}m\times m$- Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m}(K)$ gibt mit

${}v_{i}=\sum _{j=1}^{m}a_{ij}w_{j}\,$

für alle ${}i$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$M={\begin{pmatrix}2&3&2\\5&0&4\\1&-2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der einzige Körperisomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die Identität ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$. Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ein Körperisomorphismus mit ${}\varphi (\mathbb {R} )=\mathbb {R}$. Zeige, dass ${}\varphi$ entweder die Identität oder die komplexe Konjugation ist.