Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und Koeffizienten ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ die Beziehung

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass zu ${}a\in K$ die Abbildung

$V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$

linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass zu ${}v\in V$ die Abbildung

$K\longrightarrow V,\,\lambda \longmapsto \lambda v,$

linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}K\times V$ versehen mit der Vektorraumstruktur des Produktraumes (siehe Aufgabe 10.1). Betrachte die Skalarmultiplikation

$K\times V\longrightarrow V,\,(\lambda ,v)\longmapsto \lambda v.$

Handelt es sich hierbei um eine lineare Abbildung?

Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Satz 12.3 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W$

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

1. Für einen Untervektorraum ${}S\subseteq V$ ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untervektorraum von ${}W$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (V)$ der Abbildung ein Untervektorraum von ${}W$.
3. Für einen Unterraum ${}T\subseteq W$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untervektorraum von ${}V$.
4. Insbesondere ist ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untervektorraum von ${}V$.

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)},$

${}\mathbb {R}$-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation ${}\mathbb {R}$-linear, aber nicht ${}{\mathbb {C} }$-linear ist. Ist der Betrag

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

${}\mathbb {R}$-linear?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ seien ${}K$- Vektorräume ${}V_{i}$ und ${}W_{i}$ sowie lineare Abbildungen

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

gegeben. Zeige, dass dann auch die Produktabbildung

$\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W_{1}\times W_{2}\times \cdots \times W_{n},\,\left(v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\longmapsto \left(\varphi _{1}(v_{1}),\,\varphi _{2}(v_{2}),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(v_{n})\right),$

eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel von zwei Basen ${}v,u$ und ${}v,w$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$, dass die Koordinatenfunktion ${}v^{*}$ von der Basis und nicht nur von ${}v$ abhängt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass der Homomorphismenraum

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$

ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass für die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow V,\,(s_{1},\ldots ,s_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i},$

die folgenden Beziehungen gelten.

1. ${}\varphi$ ist injektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind.
2. ${}\varphi$ ist surjektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist.
3. ${}\varphi$ ist bijektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum des Produktraumes ${}V\times W$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum

${}G=\mathbb {R} ^{4}\,$

der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

$\pi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}z\\n\\r\\s\end{pmatrix}}\longmapsto 8z+9n+5r+s,$

und

$\kappa \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}z\\n\\r\\s\end{pmatrix}}\longmapsto 2z+n+4r+8s.$

Wir stellen uns ${}\pi$ als Preisfunktion und ${}\kappa$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für ${}\operatorname {kern} \pi$, für ${}\operatorname {kern} \kappa$ und für ${}\operatorname {kern} (\pi \times \kappa )$.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die eine rationale Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ auf ${}q$ schickt und die alle irrationalen Zahlen auf ${}0$ schickt. Ist dies eine lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Seien ${}V$ und ${}W$ ${}\mathbb {Q}$-Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ bereits ${}\mathbb {Q}$- linear ist.

Fußnoten