Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 12

Lineare Abbildungen

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte spricht man von ${}K$-Linearität. Lineare Abbildung heißen auch Homomorphismen von Vektorräumen. Die Identität ${}\operatorname {Id} _{V}\colon V\rightarrow V$, die Nullabbildung ${}V\rightarrow 0$ und die Inklusionen ${}U\subseteq V$ von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K^{n}$ der ${}n$- dimensionale Standardraum. Dann ist die ${}i$-te Projektion, also die Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$

eine ${}K$- lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die ${}i$-te Projektion heißt auch die ${}i$-te Koordinatenfunktion.

Die folgende Aussage bestätigt erneut das Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$

mit

$f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

Beweis

Da ${}f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W,$

indem wir jeden Vektor ${}v\in V$ mit der gegebenen Basis als

${}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$

schreiben und

${}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft ${}f(v_{i})=w_{i}$ ist dabei klar.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 12.5.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.6.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für einen Untervektorraum ${}S\subseteq V$ ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untervektorraum von ${}W$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (V)$ der Abbildung ein Untervektorraum von ${}W$.
3. Für einen Untervektorraum ${}T\subseteq W$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untervektorraum von ${}V$.
4. Insbesondere ist ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untervektorraum von ${}V$.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.7.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

den Kern von ${}\varphi$.

Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum.

Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben ${}0\in V$ keinen weiteren Vektor ${}v\in V$ mit ${}\varphi (v)=0$ geben. Also ist ${}\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$.
Es sei umgekehrt ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien ${}v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit ${}\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität

${}\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$

Daher ist ${}v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit ${}v_{1}=v_{2}$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional.

Dann gilt

${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

Beweis

Es sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es sei ${}U=\operatorname {kern} \varphi \subseteq V$ der Kern der Abbildung und ${}k=\dim _{K}{\left(U\right)}$ seine Dimension (${}k\leq n$). Es sei

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

eine Basis von ${}U$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren

$v_{1},\ldots ,v_{n-k}$

derart, dass

$u_{1},\ldots ,u_{k},\,v_{1},\ldots ,v_{n-k}$

eine Basis von ${}V$ ist. Wir behaupten, dass

$w_{j}=\varphi (v_{j}),\,j=1,\ldots ,n-k,$

eine Basis des Bildes ist. Es sei ${}w\in W$ ein Element des Bildes ${}\varphi (V)$. Dann gibt es ein ${}v\in V$ mit ${}\varphi (v)=w$. Dieses ${}v$ lässt sich mit der Basis als

${}v=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\,$

schreiben. Dann ist

${}{\begin{aligned}w&=\varphi (v)\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi (u_{i})+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j},\end{aligned}}$

sodass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}w_{j}$ schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der ${}w_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n-k$, sei eine Darstellung der Null gegeben,

${}0=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j}\,.$

Dann ist

${}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=0\,.$

Also gehört ${}\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}$ zum Kern der Abbildung und daher kann man

${}\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}\,$

schreiben. Da insgesamt eine Basis von ${}V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten ${}0$ sein müssen, also sind insbesondere ${}t_{j}=0$.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man

${}\operatorname {rang} \,\varphi :=\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,$

den Rang von ${}\varphi$.

Die Dimensionsformel kann man auch als

$\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {kern} \varphi \right)+\operatorname {rang} \,\varphi$

ausdrücken.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der gleichen Dimension ${}n$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\varphi$ surjektiv ist.

Beweis

Dies folgt aus der Dimensionsformel und Lemma 12.7.

$\Box$

Isomorphe Vektorräume

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine bijektive, lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt Isomorphismus.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zwei ${}K$- Vektorräume ${}V$ und ${}W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von ${}V$ nach ${}W$ gibt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.12.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume.

Dann sind ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum isomorph zum ${}K^{n}$.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.10.

$\Box$

Bemerkung  

Eine Isomorphie zwischen einem ${}n$- dimensionalen Vektorraum ${}V$ und dem Standardraum ${}K^{n}$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in ${}V$. Zu einer Basis

${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}\,$

gehört die lineare Abbildung

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i},$

die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem ${}i$-ten Standardvektor den ${}i$-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Satz 12.3 eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe 12.15 bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung

$(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}.$

Die Umkehrabbildung

$x=\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\colon V\longrightarrow K^{n}$

ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die ${}i$-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung

$x_{i}=p_{i}\circ x\colon V\longrightarrow K,\,v\longmapsto (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}(v))_{i},$

heißt ${}i$-te Koordinatenfunktion. Sie wird mit ${}v_{i}^{*}$ bezeichnet, und gibt zu einem Vektor ${}v\in V$ in der eindeutigen Darstellung

${}v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\,$

die Koordinate ${}\lambda _{i}$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung ${}v_{i}^{*}$ von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor ${}v_{i}$.

Wenn umgekehrt ein Isomorphismus

$\Psi \colon K^{n}\longrightarrow V$

gegeben ist, so sind die Bilder

$\Psi (e_{i}),i=1,\ldots ,n,$

eine Basis von ${}V$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Dann nennt man

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,$

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

${}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

${}(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$

definiert wird.

Mit diesen Operationen liegt ein Vektorraum vor, siehe Aufgabe 12.14.

Matrizenkalkül

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

ist durch die Bilder ${}\varphi (e_{j})$, ${}j=1,\ldots ,n$, der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes ${}\varphi (e_{j})$ ist eine Linearkombination

$\varphi (e_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}$

und damit durch die Elemente ${}a_{ij}$ eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch ${}mn$ Elemente

${}a_{ij}$, ${}1\leq i\leq m$, ${}1\leq j\leq n$, festgelegt. Eine solche Datenmenge fasst man als eine Matrix zusammen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ und ${}J$ Indexmengen. Eine ${}I\times J$-Matrix ist eine Abbildung

$I\times J\longrightarrow K,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.$

Bei ${}I=\{1,\ldots ,m\}$ und ${}J=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einer ${}m\times n$-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jeden ${}i\in I$ heißt ${}a_{ij}$ , ${}j\in J$, die ${}i$-te Zeile der Matrix, was man zumeist als einen Zeilenvektor

$(a_{i1},a_{i2},\ldots ,a_{in})$

schreibt. Zu jedem ${}j\in J$ heißt ${}a_{ij}$ , ${}i\in I$, die ${}j$-te Spalte der Matrix, was man zumeist als einen Spaltenvektor

${\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}$

schreibt. Die Elemente ${}a_{ij}$ heißen die Einträge der Matrix. Zu ${}a_{ij}$ heißt ${}i$ der Zeilenindex und ${}j$ der Spaltenindex des Eintrags. Man findet den Eintrag ${}a_{ij}$, indem man die ${}i$-te Zeile mit der ${}j$-ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit ${}m=n$ nennt man eine quadratische Matrix. Eine ${}m\times 1$-Matrix ist einfach ein Spaltenvektor der Länge ${}m$, und eine ${}1\times n$-Matrix ist einfach ein Zeilenvektor der Länge ${}m$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gegeben sind.

Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt.

Als Merkregel kann man das Schema

${}(ZEILE){\begin{pmatrix}S\\P\\A\\L\\T\end{pmatrix}}=ZS+EP+IA+LL+ET\,$

verwenden.

Insbesondere kann man eine ${}m\times n$-Matrix ${}A$ mit einem Spaltenvektor der Länge ${}n$ (von rechts) multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge ${}m$.

Bemerkung  

Wenn man eine ${}m\times n$-Matrix ${}A=(a_{ij})_{ij}$ mit einem Spaltenvektor ${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ multipliziert, so erhält man

${}Ax={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Damit lässt sich ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit dem Störvektor ${}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}$ kurz als

${}Ax=c\,$

schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix (unter Berücksichtigung der Störvektorseite) ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen.

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