Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 11

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$ und ${}w\in V$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_{i},i\in I,$

ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist und dass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf ${}V$, die durch

$v_{1}\sim v_{2}{\text{ genau dann, wenn }}v_{1}-v_{2}\in U$

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Relation auf ${}V$, die durch

$v\sim w,{\text{ falls es ein }}\lambda \in K,\lambda \neq 0,{\text{ mit }}v=\lambda w{\text{ gibt }}$

eine Äquivalenzrelation ist. Was sind die Äquivalenzklassen?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge ${}J\subseteq I$ die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
5. Ein Vektor ${}v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn ${}v\neq 0$ ist.
6. Zwei Vektoren ${}v$ und ${}u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${}u$ ein skalares Vielfaches von ${}v$ ist noch umgekehrt.

Aufgabe

Man gebe im ${}\mathbb {R} ^{3}$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Standardbasis

$e_{i},\,i=1,\ldots ,n,$

eine

Basis des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Es sei ${}\lambda _{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen ${}\neq 0$ aus ${}K$. Zeige, dass die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von ${}V$, eine Basis von ${}V$) ist, wenn dies für die Familie ${}\lambda _{i}v_{i}$, ${}i\in I$, gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}3x+4y-2z+5w=0\,.$

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

$-2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.$

Aufgabe

Zeige, dass im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Bestimme, ob im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ die beiden Vektoren

${\begin{pmatrix}2+7{\mathrm {i} }\\3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}15+26{\mathrm {i} }\\13-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in {\mathbb {C} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f({\mathrm {i} })=1,\,f(1)=1+{\mathrm {i} },\,f(1-2{\mathrm {i} })=-{\mathrm {i} }.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} ^{n}$ der ${}n$- dimensionale Standardraum über ${}\mathbb {Q}$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Q} ^{n}$ eine Familie von ${}n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine ${}\mathbb {Q}$- Basis des ${}\mathbb {Q} ^{n}$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine ${}\mathbb {R}$-Basis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ bildet.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}9\\2\\6\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ die beiden Vektoren

${\begin{pmatrix}2-7{\mathrm {i} }\\-3+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}5+6{\mathrm {i} }\\3-17{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}\,$

ein von ${}0$ verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen mit ${}n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von ${}m$ Vektoren in ${}V$ und sei

${}U=\langle v_{i},\,i=1,\ldots ,m\rangle \,$

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von ${}U$ gleich ${}m$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.$