Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ multilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\triangle \colon V\times V\longrightarrow K$

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien ${}u,v,w\in V$. Ziehe in

$\triangle {\begin{pmatrix}u+2v\\v+3w\end{pmatrix}}$

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Abbildung

$K^{n}\times K^{n}\longrightarrow K,\,({\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto (u_{1},\ldots ,u_{n})\circ {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$

multilinear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow K,\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad+cb,$

multilinear ist, aber nicht alternierend.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Ist die Abbildung

$\operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow K,\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ac-bd,$

multilinear in den Zeilen? In den Spalten?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n,p\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$, ${}C\in \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)$ und ${}s\in K$).

1. ${}{({A^{\text{tr}}})^{\text{tr}}}=A$.
2. ${}{(A+B)^{\text{tr}}}={A^{\text{tr}}}+{B^{\text{tr}}}$.
3. ${}{(sA)^{\text{tr}}}=s\cdot {A^{\text{tr}}}$.
4. ${}{(A\circ C)^{\text{tr}}}={C^{\text{tr}}}\circ {A^{\text{tr}}}$.

Aufgabe

Zeige, dass für jede Elementarmatrix ${}E$ die Beziehung

${}\det E=\det {E^{\text{tr}}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}{V}^{*}:=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$. Zeige, dass auf ${}{V}^{*}$ die Koordinatenfunktionen ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, die durch

$v_{j}^{*}(v_{k})={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=k,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}$

definiert sind, eine Basis von ${}{V}^{*}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$-Vektorräume mit Basen

${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich dieser Basen durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Zeige, dass die duale Abbildung

$W^{*}\longrightarrow V^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

bezüglich der Dualbasen

$v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}{\text{ und }}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$

durch die transponierte Matrix ${}{M^{\text{tr}}}$ beschrieben wird.

Aufgabe

Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.

Aufgabe

Man berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}0&2&7\\1&4&5\\6&0&3\end{pmatrix}},$

indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

$v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathrm {i} }v_{1},\ldots ,{\mathrm {i} }v_{n}$

eine Basis von ${}V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung ${}\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffasst.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n,m\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}n\leq m$. Definiere injektive Gruppenhomomorphismen

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{m}\!{\left(K\right)}.$

Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}3&4&5\\9&8&7\\1&2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {Q} )$. Zeige, dass es egal ist, ob man die Determinante in ${}\mathbb {Q}$, in ${}\mathbb {R}$ oder in ${}{\mathbb {C} }$ ausrechnet.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\triangle \colon V\times V\times V\longrightarrow K$

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien ${}u,v,w\in V$. Ziehe in

$\triangle {\begin{pmatrix}u+v+w\\2u+3z\\4w-5z\end{pmatrix}}$

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow K$

(${}i=1,\ldots ,n$), lineare Abbildungen. Zeige, dass dann die Abbildung

$\varphi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow K,\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1}){\cdots }\varphi _{n}(v_{n}),$

multilinear ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Löse mit der Cramerschen Regel das inhomogene lineare Gleichungssystem (über ${}\mathbb {Q}$)

${\begin{matrix}2x+4y+3z&=&3\\x+5y+7z&=&3\\3x+5y+2z&=&4\,.\end{matrix}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Es sei ${}T$ ein weiterer ${}K$-Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,T\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

${}K$-linear ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,M\longmapsto \det M,$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine ${}{\mathbb {C} }$- lineare Abbildung. Wir betrachten ${}V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf ${}\varphi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit ${}\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

${}\vert {\det \varphi }\vert ^{2}=\det \psi \,$

besteht.