Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 9
- Aufwärmaufgaben
Zeige, dass das Quadrieren
eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel
eine wachsende Funktion ist.
Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen und die Beziehung
Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.
Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.
Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.
Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring, aber kein Körper ist.
Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für
ist
- Es ist genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.
Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.
- Es ist .
- Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Für ist .
Bestätige die in Beispiel 9.12 angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl im Fall .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien mit . Zeige, dass es für die Gleichung
mindestens eine komplexe Lösung gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien mit . Man charakterisiere, wann es für die Gleichung
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .
Aufgabe (4 Punkte)
Man finde alle drei komplexen Zahlen , die die Bedingung
Aufgabe (4 Punkte)
Man schreibe eine Computeranimation, die die Intervallschachtelung für die eulersche Zahl aus Lemma 9.1 bis zum zehnten Schritt berechnet und darstellt.
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