Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Nach/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$ .
Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ .
Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ .
Die Stetigkeit einer Abbildung
$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ .
Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$ -Vektorraum ${}V$ .
Der Rang einer linearen Abbildung
$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen endlichdimensionalen ${}K$ -Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ .
Die Eulersche Zahl.
Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
Der Satz von Cayley-Hamilton.
Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
Der Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel

{}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

{}M={\begin{pmatrix}2&3&0&-1\\4&2&2&5\end{pmatrix}}\,

gegebenen linearen Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{n}}}

für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ absolut konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ zur Funktion

{}f(x)=x\cdot \sin x\,

im Entwicklungspunkt ${}a={\frac {\pi }{2}}$ .

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{k}$ und ${}N_{1},\ldots ,N_{k}$ nichtleere Mengen und

\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N_{i}

Abbildungen für ${}i=1,\ldots ,k$ . Es sei ${}M=M_{1}\times \cdots \times M_{k}$ , ${}N=N_{1}\times \cdots \times N_{k}$ , und ${}\varphi$ die Produktabbildung, also

\varphi \colon M\longrightarrow N,\,(x_{1},\ldots ,x_{k})\longmapsto (\varphi _{1}(x_{1}),\ldots ,\varphi _{k}(x_{k})).

a) Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle ${}\varphi _{i}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

{}A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$ .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe * (11 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien endlichdimensionale ${}K$ -Vektorräume und sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung.

a) Zeige: ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung

\psi \colon W\longrightarrow V

mit

{}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\,

gibt.

b) Es sei nun ${}\varphi$ surjektiv, es sei

{}S={\left\{\psi :W\rightarrow V\mid \psi {\text{ linear}},\,\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\right\}}\,

und es sei ${}\psi _{0}\in S$ fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,\operatorname {kern} \varphi \right)}$ und ${}S$ , unter der ${}0$ auf ${}\psi _{0}$ abgebildet wird.