Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Test 1/Klausur
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Abzählbarkeit einer Menge .
- Eine Mengenalgebra auf einer Menge .
- Eine Borelmenge in einem topologischen Raum .
- Eine Ausschöpfung einer Menge .
- Ein Maß auf einem Messraum (ohne Bezug auf ein Prämaß).
- Ein translationsinvariantes Maß auf .
- Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion auf einem - endlichen Maßraum .
- Der Limes inferior zu einer reellen Folge .
Aufgabe * (4 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
- Die Formel für für eine Borelmenge unter einer linearen Abbildung .
- Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
- Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge zu - endlichen Maßräumen und .
Aufgabe * (6 Punkte)
Zeige, dass die Potenzmenge und die Menge der Abbildungen gleichmächtig sind.
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei ein topologischer Raum und sei die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
mit offenen Mengen und abgeschlossenen Mengen besteht.
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
im erzeugten Parallelotops.
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren
im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Messraum und eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion
messbar ist.
Aufgabe * (10 Punkte)
(mit und ) überdecken lässt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion
um die -Achse rotieren lässt.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei
eine positive stetige Funktion (mit aus ). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge
das Volumen besitzt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein endlicher Maßraum und , , eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen . Wir betrachten die Abbildung
Zeige, dass die Abbildung
nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 72.1 sind erfüllt, welche nicht?