Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Test 1/Klausur


Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abzählbarkeit einer Menge .
  2. Eine Mengenalgebra auf einer Menge .
  3. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum .
  4. Eine Ausschöpfung einer Menge .
  5. Ein Maß auf einem Messraum (ohne Bezug auf ein Prämaß).
  6. Ein translationsinvariantes Maß auf .
  7. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion auf einem - endlichen Maßraum .
  8. Der Limes inferior zu einer reellen Folge .



Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
  2. Die Formel für für eine Borelmenge unter einer linearen Abbildung .
  3. Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
  4. Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge zu - endlichen Maßräumen und .



Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die Potenzmenge und die Menge der Abbildungen gleichmächtig sind.



Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein topologischer Raum und sei die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

mit offenen Mengen und abgeschlossenen Mengen besteht.



Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien und zwei abzählbare Mengen, die beide mit der - Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt bzw. ) versehen seien.

a) Zeige, dass und - endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß auf ebenfalls das Zählmaß ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

im erzeugten Parallelotops.



Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Messraum und eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

messbar ist.



Aufgabe * (10 Punkte)

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke

(mit und ) überdecken lässt.



Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

um die -Achse rotieren lässt.



Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

eine positive stetige Funktion (mit aus ). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

das Volumen besitzt.




Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein endlicher Maßraum und , , eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen . Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass die Abbildung

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 72.1 sind erfüllt, welche nicht?




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