Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorlesung 74/latex
\setcounter{section}{74}
\zwischenueberschrift{Folgerungen aus dem Satz von Fubini}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2-xy+2y^3
} {,}
über dem Rechteck
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ [-2,1] \times [0,2]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Satz von Fubini
ausrechnen. Dies führt auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ Q } f \, d \lambda^2
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ 2 } { \left( \int_{ -2 }^{ 1 } { \left( x^2-xy+2y^3 \right) } \, d x \right) } \, d y
}
{ =} { \int_0^2 { \left( { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3- { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2y+2y^3x \right) } | _{ -2 } ^{ 1 } \right) } dy
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ 2 } { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } y+2y^3 + { \frac{ 8 }{ 3 } } + 2 y+ 4y^3 \right) } \, d y
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ 2 } { \left( 3+ { \frac{ 3 }{ 2 } } y+ 6y^3 \right) } \, d y
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( 3y+ { \frac{ 3 }{ 4 } } y^2+ { \frac{ 3 }{ 2 } }y^4 \right) } | _{ 0 } ^{ 2 }
}
{ =} { 6 + 3+ 24
}
{ =} { 33
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und es seien
\maabb {f} {M} { \overline{ \R }
} {} und \maabb {g} {N} { \overline{ \R }
} {}
\definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Funktion
\maabbeledisp {fg} {M \times N } { \overline{ \R }
} {(x,y)} {f(x) \cdot g(y)
} {,}
integrierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M \times N } fg \, d (\mu \otimes \nu)
}
{ =} { \int_{ M } f \, d \mu \cdot \int_{ N } g \, d \nu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir nehmen zuerst
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
als nichtnegativ an. Dann gilt nach
Satz 73.10
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ M\times N } fg \, d (\mu \otimes \nu)
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \int_{ N } (fg)(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x)
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \int_{ N } f(x) g(y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x)
}
{ =} { \int_{ M } f(x) { \left( \int_{ N } g(y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x)
}
{ =} { { \left( \int_{ N } g(y) \, d \nu(y) \right) } \cdot { \left( \int_{ M } f(x) \, d \mu(x) \right) }
}
}
{}
{}{.}
Für beliebige integrierbare Funktionen folgt daraus, angewendet auf die Betragsfunktionen, zunächst die Integrierbarkeit des Produkts und daraus mit derselben Rechnung die Formel.
\zwischenueberschrift{Dichten}
Die bisher bewiesenen Eigenschaften des Integrals erlauben es, ausgehend von einem Maß und einer integrierbaren Funktion neue Maße zu definieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und es sei
\maabbdisp {g} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.}
Dann nennt man das für jede
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu(T)
}
{ \defeq} { \int_{ T } g \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Maß auf $M$ das \definitionswort {Maß zur Dichte}{} $g$. Es wird mit
\mathl{g \mu}{} bezeichnet.
}
\inputbemerkung
{}
{
Die Vorstellung, die hinter einer \definitionsverweis {Dichte}{}{} liegt und zu dem Namen geführt hat, ist die physikalische Dichte eines Körpers. Zu einem Körper im Raum berechnet das Borel-Lebesgue-Maß das Volumen. Wenn man aber an der Masse dieses Körpers interessiert ist, so reicht die Kenntnis des Volumens nicht aus, es sei denn, der Körper ist homogen und besitzt überall eine konstante Dichte. In diesem Fall ist die Masse proportional zum Volumen. Bei einem nicht homogenen Körper hingegen muss man wissen, wie sich die Masse auf dem Körper verteilt. Eine solche Massenverteilung wird durch eine Dichtefunktion beschrieben, die jedem Punkt des Körpers die \anfuehrung{infinitesimale Dichte}{} in diesem Punkt zuordnet. Die Gesamtmasse ergibt sich dann durch Integration dieser Dichte bezüglich des Volumenmaßes.
}
\zwischenueberschrift{Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen}
Wir beginnen nun mit den Vorbereitungen zum Beweis der Transformationsformel.
\inputfaktbeweis
{Lipschitz-stetige Abbildung/Verhalten von Nullmengen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {Lipschitz-stetige Abbildung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathl{\varphi(S)}{} eine Nullmenge.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(\varphi(x),\varphi(y))
}
{ \leq} {L \cdot d(x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Lipschitz-Konstanten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zunächst ist für jeden Würfel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq} { G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Kantenlänge $\delta$ das Bild
\mathl{\varphi(W)}{} in einem Ball mit einem Radius
\mathl{\leq n \delta L}{} enthalten. Daher gibt es ein
\zusatzklammer {von $\delta$ unabhängiges} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n ( \varphi(W))
}
{ \leq} { c \delta^n
}
{ =} { c \lambda^n (W)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} für alle Würfel. Diese Abschätzung gilt dann auch für alle Quader, da diese beliebig nahe durch Vereinigungen von Würfeln approximiert werden können.
Da $S$ eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{}
ist, gibt es aufgrund der Konstruktion des
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maßes}{}{}
über das
\definitionsverweis {äußere Maß}{}{}
zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abzählbare Überpflasterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq} { \bigcup_{i \in I} Q_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Quadern $Q_i$ und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I} \lambda^n (Q_i)
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(S)
}
{ \subseteq }{ \bigcup_{i \in I} \varphi(Q_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda^n (\varphi(S))
}
{ \leq} { \lambda^n { \left( \bigcup_{i \in I} \varphi(Q_i) \right) }
}
{ \leq} { \sum_{i \in I} \lambda^n( \varphi(Q_i))
}
{ \leq} { \sum_{i \in I} c \lambda^n (Q_i)
}
{ =} {c \sum_{i \in I} \lambda^n (Q_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} { c \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Da man $\epsilon$ beliebig klein wählen kann, muss
\mathl{\varphi(S)}{} eine
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{}
sein.
\inputfaktbeweis
{Diffeomorphismus/Transformationsformel/Verhalten von Nullmengen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathl{\varphi(S)}{} eine Nullmenge.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach \zusatzklammer {einem Spezialfall von} {} {} Lemma 52.10 ist $\varphi$ \definitionsverweis {lokal Lipschitz-stetig}{}{.} Die Nullmenge $S$ kann man abzählbar überdecken mit offenen Mengen, worauf $\varphi$ \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist. Die Aussage folgt dann aus Lemma 74.5.
\zwischenueberschrift{Die Transformationsformel für Quader}
\inputfaktbeweis
{Diffeomorphismus/Transformationsformel/Abschätzung für Quader/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
im $\R^n$ und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
$C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (J(\varphi))(x)
}
{ =} { \det \left(D\varphi\right)_{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {achsenparalleler Quader}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gelten die Abschätzungen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \lambda^n (Q) \cdot {\min { \left( \betrag { (J(\varphi))(x) } , x \in Q \right) } }
}
{ \leq} { \lambda^n (\varphi(Q))
}
{ \leq} { \lambda^n (Q) \cdot {\max { \left( \betrag { (J(\varphi))(x) } , x \in Q \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j(x)
}
{ = }{ \betrag { \det \left(D\varphi\right)_{x} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} \teilbeweis {Wir beweisen zuerst die Abschätzung nach oben.\leerzeichen{}}{}{}
{Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n( \varphi(Q))
}
{ = }{ c \cdot \lambda^n(Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \leq }{ {\max { \left( j(x) , x \in Q \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen.}
{}
\teilbeweis {}{Wir konstruieren induktiv eine Folge von abgeschlossenen achsenparallelen Teilquadern
\mathbed {Q_m} {}
{m \in \N} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n ( \varphi(Q_m))
}
{ \geq} {c \cdot \lambda^n (Q_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}\leerzeichen{}}{}
{ Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_0
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Für den Induktionsschluss von $m$ auf
\mathl{m+1}{} betrachten wir sämtliche $2^n$ Teilquader von
\mathl{Q_m}{} mit halbierter Kantenlänge. Würden diese Teilquader $K_i$ alle die Ungleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n (\varphi(K_i))
}
{ < }{c \cdot \lambda^n (K_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen, so ergebe sich durch Aufsummieren sofort ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung
\zusatzklammer {wegen
Korollar 74.6
sind die Ränder der Quader unerheblich} {} {.}
Es gibt also mindestens einen Quader
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_{m+1}
}
{ = }{ K_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n(\varphi(Q_{m+1}) )
}
{ \geq }{c \cdot \lambda^n(Q_{m+1})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Diese Quaderschachtelung definiert in jeder Komponente eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
und damit nach
Satz 8.12
einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \bigcap_{m \in \N} Q_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ \left(D\varphi\right)_{0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Da $\varphi$ in $0$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( v)
}
{ =} { { \left( D\varphi \right) }_{0} { \left( v \right) } + \Vert {v} \Vert r(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer in $0$
\definitionsverweis {stetigen Abbildung}{}{}
$r$, die dort den
\definitionsverweis {Limes}{}{}
$0$ besitzt. Die
\definitionsverweis {lineare Approximation}{}{}
\maabbeledisp {L} {\R^n } {\R^n
} {v} {L(v) = { \left( D\varphi \right) }_{0} { \left( v \right) }
} {,}
bildet jeden Quader $K$ auf ein Parallelotop
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{L(K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ab, das nach
Satz 68.2
das Maß
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n(L(K))
}
{ = }{ j(0) \cdot \lambda^n(K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt. Wir wollen
\mathkor {} {\varphi(K)} {mit} {L(K)} {}
für einen geeigneten Quader $K$ vergleichen. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, ist $L$ ein Isomorphismus und daher gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \leq }{ b \Vert { L(v)} \Vert
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $v$.
Somit gibt es wegen der Stetigkeit von
\mathl{b \Vert {r(v)} \Vert}{} zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v } \Vert \cdot \Vert {r(v)} \Vert
}
{ \leq} { \epsilon \Vert {L(v)} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v} {mit}
{\Vert {v} \Vert \leq \delta} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\mathbed {K \subseteq B \left( 0,\delta \right)} {}
{0 \in K} {}
{} {} {} {,}
ein Quader. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { \varphi(v) - L(v) } \Vert
}
{ =} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {r(v)} \Vert
}
{ \leq} { \epsilon \Vert { L(v)} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h. dass
\mathl{\varphi(K)}{} in dem Parallelotop $T'$ liegt, das aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ L(K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch Streckung mit dem Streckungsfaktor
\mathl{1 + \epsilon}{} entsteht. Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n( \varphi(K))
}
{ \leq} { \lambda^n( T')
}
{ =} { (1+ \epsilon)^n \cdot \lambda^n (T)
}
{ =} { (1+ \epsilon)^n \cdot j(0) \cdot \lambda^n (K)
}
{ } {}
}
{}{}{.}}
{}
Wir nehmen an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\max { \left( j(x) , x \in Q \right) } }
}
{ < }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dann kann man auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (1 + \epsilon)^n j(0)
}
{ < }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
finden. Wir nehmen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die oben beschriebene Eigenschaft bezüglich diesem $\epsilon$ besitzt. Für $m$ hinreichend groß kann man dann die obige Überlegung auf die Quader
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
anwenden und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda^n( \varphi(Q_m))
}
{ <} { c \cdot \lambda^n(Q_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} im Widerspruch zur Konstruktion dieser Quaderfolge.\teilbeweis {}{}{}
{Wir zeigen zunächst, dass die Abschätzung nach oben nicht nur für Quader, sondern für beliebige
\definitionsverweis {kompakte Mengen}{}{}
$T$ gilt. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine
\definitionsverweis {abzählbare Überpflasterung}{}{}
mit achsenparallelen Quadern
\mathbed {Q_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $T$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T)
}
{ \leq} { \sum_{i \in I} \lambda^n(Q_i)
}
{ \leq} { \lambda^n(T) + \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Beschränkung der Kantenlängen der $Q_i$ kann man weiter erreichen, dass alle $Q_i$ in einer größeren ebenfalls kompakten Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{T}
}
{ \supseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen. Wegen der
\definitionsverweis {gleichmäßigen Stetigkeit}{}{}
von $j$ auf $\tilde{T}$, die auf
Satz 22.11
beruht, kann man zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\epsilon}
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $Q_i$ so wählen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\max { \left( j(x) , x \in Q_i \right) } }
}
{ \leq }{ {\max { \left( j(x) , x \in T \right) } } + \tilde{\epsilon}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Damit ergibt sich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \lambda^n( \varphi(T))
}
{ \leq} { \lambda^n { \left( \bigcup_{i \in I} \varphi(Q_i) \right) }
}
{ \leq} { \sum_{i \in I} \lambda^n( \varphi(Q_i))
}
{ \leq} { \sum_{i \in I} {\max { \left( j(x) , x \in Q_i \right) } } \lambda^n( Q_i)
}
{ \leq} { \sum_{i \in I} { \left( {\max { \left( j(x) , x \in T \right) } } + \tilde{\epsilon} \right) } \lambda^n( Q_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( {\max { \left( j(x) , x \in T \right) } } + \tilde{\epsilon} \right) } \cdot { \left( \sum_{i \in I} \lambda^n( Q_i) \right) }
}
{ \leq} { { \left( {\max { \left( j(x) , x \in T \right) } } + \tilde{\epsilon} \right) } \cdot { \left( \lambda^n (T) + \epsilon \right) }
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Da
\mathkor {} {\epsilon} {und} {\tilde{\epsilon}} {}
beliebig klein gewählt werden können, gilt diese Abschätzung auch ohne
\mathkor {} {\epsilon} {und} {\tilde{\epsilon}} {.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir wenden nun die Abschätzung nach oben auf die Umkehrabbildung $\varphi^{-1}$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \varphi(Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Als Bild einer kompakten Menge ist $T$ nach
Satz 22.4
wieder kompakt. Dabei gilt
aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(\varphi^{-1})\right)_{y}
}
{ =} { (\left(D\varphi\right)_{x})^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ \varphi(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ergibt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \lambda^n( Q )
}
{ =} { \lambda^n(\varphi^{-1} (\varphi(Q) ))
}
{ \leq} { {\max { \left( \betrag { \det \left(D \varphi^{-1}\right)_{y} } , y \in \varphi (Q) \right) } } \cdot \lambda^n( \varphi(Q))
}
{ =} { {\max { \left( \betrag { \det \left(D \varphi^{-1}\right)_{\varphi(x) } } , x \in Q \right) } } \cdot \lambda^n( \varphi(Q))
}
{ =} { {\max { \left( \betrag { \det \left(D\varphi\right)_{x }^{-1} } , x \in Q \right) } } \cdot \lambda^n( \varphi(Q))
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { {\max { \left( \betrag { \det \left(D\varphi\right)_{x} }^{-1} , x \in Q \right) } } \cdot \lambda^n( \varphi(Q))
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \lambda^n( Q ) \cdot {\min { \left( \betrag { \det \left(D\varphi\right)_{x} } , x \in Q \right) } }
}
{ =} { \lambda^n( Q ) \cdot { \frac{ 1 }{ {\max { \left( \betrag { \det \left(D\varphi\right)_{x} }^{-1} , x \in Q \right) } } } }
}
{ \leq} { \lambda^n( \varphi(Q))
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
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