Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/18/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 6 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 4 | 2 | 1 | 5 | 3 | 4 | 3 | 5 | 5 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Gaußklammer einer reellen Zahl .
- Eine streng fallende Funktion .
- Eine Reihe von reellen Zahlen .
- Die
höheren Ableitungen
zu einer Funktion
(rekursive Definition).
- Die
Riemann-Integrierbarkeit
einer Funktion
auf einem kompakten Intervall .
- Eine
lineare Abbildung
zwischen den -Vektorräumen und .
- Die Gaußklammer ist durch
definiert.
- Die Funktion
heißt streng fallend, wenn
- Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
- Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also ,
differenzierbar
ist. Die Ableitung
nennt man dann die -te Ableitung von .
- Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
- Eine
Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle und .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Summenregel für reelle Folgen.
- Die
Produktregel
für differenzierbare Funktionen
- Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
- Es seien
und
konvergente Folgen in . Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
- Das Produkt ist ebenfalls differenzierbar und es gilt
- Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen
entsprechen sich die Hintereinanderschaltung
von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.
Damit ist folgendes gemeint: es seien
Vektorräume über einem Körper mit Basen
Es seien
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung
Aufgabe (1 Punkt)
Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.
Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)
Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat Euro in Scheinen ab.
- Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann?
- Ist es möglich, dass er Scheine bekommt?
- Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich?
- Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt?
- Das Minimum an Scheinen ist (ein Hunderter), das Maximum ist ( Fünfer).
- Es ist
Scheine sind also mit Zehnern und Fünfern möglich.
- Es sind die Anzahlen und möglich, mit Scheinen ist es nicht möglich. : ein Hunderter. : zwei Fünfziger. : Es kann höchstens ein Fünfziger vorkommen, mit zwei Zwanzigern bleibt man aber unterhalb von . : Ein Fünfziger und zwei Zwanziger und ein Zehner. : Fünf Zwanziger. Um Scheine zu erreichen kann man sukzessive einen Zwanziger durch zwei Zehner ersetzen. : Zehner. Um Scheine zu erreichen kann man sukzessive einen Zehner durch zwei Fünfer ersetzen.
- Bei einem und zwei Scheinen gibt es offenbar nur eine Möglichekeit, mit drei Scheinen geht es gar nicht. Mit vier Scheinen gibt es nur die Möglichkeit , da man ohne den Fünfziger nicht auskommt. Mit Scheinen gibt es die beiden Möglichkeiten entweder fünf Zwanziger oder . Die Antwort ist also .
Aufgabe (3 Punkte)
Die Zahlen
werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?
Zwei in einer solchen Reihe aufeinanderfolgende Zahlen ergeben
Ein solches Paar trägt also mit zur Gesamtsumme bei. Wenn gerade ist, so gibt es solche Paare und die Gesamtsumme ist . Wenn ungerade ist, so gibt es solche Paare sowie die letzte alleinstehende Zahl , die positiv eingeht. Also ist die Gesamtsumme in diesem Fall gleich
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
- Zeige, dass für positive reelle Zahlen die Abschätzung
gilt.
- Zeige, dass es reelle Zahlen mit
und mit
gibt.
- Im positiven Fall ist auch und somit kann man überall die Betragsstriche weglassen. Es ist und somit ist .
- Es sei
und
.
Dann ist
und somit steht links und rechts das Maximum aus und , also .
Aufgabe (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist und eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ist nach der Vorbemerkung auch , also ist ein konstantes Polynom, und damit ist (da und ein Körper ist) und eine Lösung. Es sei nun und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben und mit . Dann gilt mit die Beziehung
Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt und mit
Daraus ergibt sich insgesamt
sodass also
und
eine Lösung ist.
Zur Eindeutigkeit sei
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
.
Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
und
lösbar.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt
Dies schreiben wir als
Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit (es sei .) die Abschätzung
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.
Wir wollen
zeigen. Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
bzw. zu
Wegen
ist dies in der Tat wahr.
Aufgabe (4 Punkte)
Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit
Es sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit
Dann gilt für alle die Abschätzung
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.
Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung
und ist die Lösungsmenge der Gleichung
Wenn man von der zweiten Gleichung die erste abzieht, so erhält man
also
Aus der Einheitskreisgleichung folgt daraus, dass
sein muss. Der einzige Schnittpunkt ist also (der in der Tat ein Schnittpunkt ist).
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme die Ableitung der Funktion
Es ist
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten eine Funktion der Form
wobei und lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen () die Beziehung
gilt.
Zum Induktionsanfang betrachten wir , es geht also um die Funktion selbst. Wegen
ist die Formel für gerade richtig.
Wir beweisen nun nun die Formel für unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Es sei zunächst ungerade, also gerade. Dann ist (unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von und gleich sind)
sodass der Ausdruck für ungerade vorliegt.
Bei gerade, also ungerade, ist
sodass der Ausdruck für gerade vorliegt.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion von
Die Funktion hat die Gestalt
deshalb ist nach der Kettenregel (für drei Funktionen) eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei eine Stammfunktion von bezeichnet. Also ist
eine Stammfunktion.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
Bei wird das Gleichungssystem zu
Also ist
und beliebig, somit ist
Es sei also . Wir rechnen und erhalten
bzw.
Die erste Gleichung liefert
Somit ist
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
a) Es ist
b) Nach Teil a) ist
also ist invertierbar und stimmt mit seinem Inversen überein, also
c) Wir wenden auf die Gleichung beidseitig die Matrix an und erhalten
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper . Es seien und Vektoren in , die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung derart gibt, dass
für gilt.
Da und Basen sind, gibt es nach dem Festlegungsatz eine bijektive lineare Abbildung mit und . Unter bleiben die Voraussetzungen über die paarweise lineare Unabhängigkeit erhalten. Daher müssen wir nur noch die Situation von zwei Vektorfamilien der Form und betrachten. Es sei
und
Dabei sind , da andernfalls bzw. zu einem der linear abhängig wäre. Wir betrachten nun die lineare Abbildung , die durch und gegeben ist. Dann ist
Somit erfüllt die geforderte Bedingung.
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
gegebenen linearen Abbildung
Das charakteristische Polynom ist
Dies ergibt zunächst den Eigenwert . Durch quadratisches Ergänzen (oder direkt) sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen und , die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.
Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , sodass der Eigenraum zu gleich ist.
Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , sodass der Eigenraum zu gleich ist.
Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , sodass der Eigenraum zu gleich ist.