Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/30/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	4	5	4	5	6	3	2	4	7	3	1	2	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}8,6$ Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}$

Ist ${}f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}x\geq 2$ und ${}s>1$ reelle Zahlen. Zeige

${}1+x^{-s}<{\frac {1}{1-x^{-s}}}\leq 1+2x^{-s}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=3$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Regel von l'Hospital.

Aufgabe * (7 (1+1+3+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{-1}.$

1. Berechne die erste Ableitung von ${}f$.
2. Berechne die zweite Ableitung von ${}f$.
3. Erstelle (und beweise) eine Formel für die ${}n$-te Ableitung von ${}f$ (${}n\geq 1$).
4. Bestimme das Taylorpolynom zu ${}f$ im Punkt ${}1$ vom Grad ${}4$.
5. Bestimme die Taylorreihe zu ${}f$ im Punkt ${}1$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{2}^{5}{\frac {x}{x+1}}\,dx$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

${}0=1\,.$

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}0&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&4+7{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\\0&1-5{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.