Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/44/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	6	3	5	4	8	3	3	3	4	5	3	4	2	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Körper.
2. Eine wachsende reelle Folge.
3. Der Grenzwert zu einer auf ${}T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.

4. Die reelle Exponentialfunktion.
5. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I=[a,b]$ zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

6. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

   und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
      3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
2. Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.
3. Die reelle Zahl ${}b$ heißt Grenzwert von ${}f$ in ${}a$, wenn für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ konvergiert.
4. Die Funktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$

   heißt (reelle) Exponentialfunktion.

5. Das Treppenintegral von ${}t$ ist durch

   $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$

   definiert.

6. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

   $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$

   nur bei ${}a_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
2. Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
3. Der Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
2. Die trigonometrischen Funktionen

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   und

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   erfüllen für ${}x\in \mathbb {R}$ die Kreisgleichung

   ${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
   2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
   3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung

      $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$

   4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

Aufgabe (1 Punkt)

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?

Lösung

Vorvorvorvorvorvorgestern.

Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.

Lösung

1. ${}\,$

2. 

   ${}\,$

3. Es sei angenommen, dass es eine solche Geradenkonfiguration gibt. Wir behandeln die beiden Fälle, dass die beiden Schnittpunkte auf einer der Geraden ${}G$ liegen oder nicht. Im ersten Fall müssen die Geraden, die mit ${}G$ die Schnittpunkte definieren, zueinander parallel sein. Die vierte Gerade kann weder zu ${}G$ noch zu den beiden anderen Geraden parallel sein, sonst würde es neue Schnittpunkte geben. Damit schneidet die vierte Gerade die ersten drei Geraden, und dabei kann zwar ein Schnittpunkt mit den beiden Schnittpunkten zusammenfallen, aber nicht mit beiden. Im zweiten Fall gibt es zwei Geradenpaare, die jeweils die beiden Schnittpunkte definieren. Doch dann trifft jede Gerade zumindest eine Gerade des anderen Geradenpaares in einem neuen Schnittpunkt, da sie nicht zu beiden parallel sein kann und nicht durch deren Schnittpunkt verläuft (sonst wären wir im ersten Fall).

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir ${}\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl

${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen ${}p_{i}$ teilbar, da bei Division von ${}N$ durch ${}p_{i}$ immer ein Rest ${}1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von ${}N$, die es nach Satz 2.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl ${}n$, also

${}+$	${}1$	${}2$	${}3$	${}\ldots$	${}n-1$	${}n$
${}1$	${}1+1$	${}1+2$	${}1+3$	${}\ldots$	${}1+n-1$	${}1+n$
${}2$	${}2+1$	${}2+2$	${}2+3$	${}\ldots$	${}2+n-1$	${}2+n$
${}3$	${}3+1$	${}3+2$	${}3+3$	${}\ldots$	${}3+n-1$	${}3+n$
${}\ldots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$
${}n-1$	${}n-1+1$	${}n-1+2$	${}n-1+3$	${}\ldots$	${}n-1+n-1$	${}n-1+n$
${}n$	${}n+1$	${}n+2$	${}n+3$	${}\ldots$	${}n+n-1$	${}n+n$

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ${}(n+1)n^{2}$ ist, also

${}\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)=(n+1)n^{2}\,.$

Lösung

Für ${}n=1$ gibt es nur den einen Summanden ${}1+1$, sodass der Induktionsanfang gesichert ist. Es sei die Aussage für ein ${}n$ bewiesen. Wir unterteilen die zu berechnende Summe je nachdem, ob die beteiligten Summanden kleiner oder gleich ${}n+1$ sind. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Formel für die Summe der ersten ${}n$ Zahlen

${}{\begin{aligned}\sum _{1\leq i\leq n+1,\,1\leq j\leq n+1}(i+j)&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)+\sum _{\,1\leq j\leq n}(n+1+j)+\sum _{1\leq i\leq n}(i+n+1)+(n+1)+(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2\sum _{\,1\leq j\leq n}(n+1+j)+2(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2n(n+1)+2\sum _{\,1\leq j\leq n}j+2(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2n(n+1)+n(n+1)+2(n+1)\\&=(n+1)(n^{2}+2n+n+2)\\&=(n+1)(n+2)(n+1)\\&=(n+2)(n+1)^{2}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$. Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$, sodass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Lemma 4.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (5) nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, sodass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$.

Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)

1. Bestimme ein Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq 3$ mit

   ${}P(-1)=-4\,,$

   ${}P(0)=2\,,$

   ${}P(1)=2\,$

   und

   ${}P(2)=3\,$

2. Bestimme ein normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}3$ mit

   ${}Q(0)=1\,,$

   ${}Q(2)=3\,$

   und

   ${}Q(3)=10\,.$

3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${}P$ und zu ${}Q$.

Lösung

1. Wir machen den Ansatz

   ${}P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,.$

   Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

   ${}-a+b-c+d=-4\,,$

   ${}d=2\,,$

   ${}a+b+c+d=2\,,$

   ${}8a+4b+2c+d=3\,.$

   Elimination von ${}d$ führt auf

   ${}-a+b-c=-6\,,$

   ${}a+b+c=0\,,$

   ${}8a+4b+2c=1\,.$

   Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf

   ${}2b=-6\,,$

   also

   ${}b=-3\,.$

   Dies führt auf

   ${}a+c=3\,$

   und

   ${}8a+2c=13\,.$

   Somit ist

   ${}6a=7\,,$

   also

   ${}a={\frac {7}{6}}\,$

   und

   ${}c={\frac {11}{6}}\,.$

   Das gesuchte Polynom ist also

   ${}P={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2\,.$

2. Wir machen den Ansatz

   ${}Q=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,.$

   Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

   ${}t=1\,,$

   ${}8+4r+2s+t=3\,,$

   ${}27+9r+3s+t=10\,.$

   Dies führt auf

   ${}4r+2s=-6\,,$

   ${}9r+3s=-18\,.$

   Die Gleichung ${}3I-2II$ ist

   ${}-6r=18\,,$

   also

   ${}r=-3\,$

   und

   ${}s=3\,.$

   Das gesuchte Polynom ist also

   ${}Q=X^{3}-3X^{2}+3X+1\,.$

3. Die ${}x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen zu ${}P$ und zu ${}Q$ sind die Nullstellen von

   ${}P-Q={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2-{\left(X^{3}-3X^{2}+3X+1\right)}={\frac {1}{6}}X^{3}-{\frac {7}{6}}X+1\,.$

   Wir arbeiten mit ${}X^{3}-7X+6$. Wegen

   ${}P(2)=3=Q(2)\,$

   ist ${}2$ eine Nullstelle dieses Polynoms. Die Division mit Rest führt auf

   ${}X^{3}-7X+6=(X-2)(X^{2}+2X-3)\,.$

   Es geht also noch um die Nullstellen von

   $X^{2}+2X-3.$

   Diese sind ${}1$ und ${}-3$. Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind demnach

   $(-3,-62),\,(1,2),\,(2,3).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch

${}x_{n}=(-1)^{n}{\frac {7n^{2}-8n+6}{4n^{2}+3n-1}}\,$

gegebenen Folge.

Lösung

Wir schreiben die Folge (es sei $n\geq 1$) als

${}x_{n}=(-1)^{n}{\frac {7n^{2}-8n+6}{4n^{2}+3n-1}}=(-1)^{n}{\frac {7-{\frac {8}{n}}+{\frac {6}{n^{2}}}}{4+{\frac {3}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}}}\,.$

Das Zählerpolynom konvergiert gegen ${}7$ und das Nennerpolynom konvergiert gegen ${}4$. Damit konvergiert die Teilfolge ${}x_{n}$ für gerades ${}n$ gegen ${}{\frac {7}{4}}$ und die Teilfolge ${}x_{n}$ für ungerades ${}n$ gegen ${}-{\frac {7}{4}}$. Somit sind sowohl ${}{\frac {7}{4}}$ als auch ${}-{\frac {7}{4}}$ Häufungspunkte der Folge und daher liegt keine Konvergenz vor.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.

Lösung

Für ${}x=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

${}\vert {\frac {\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {x}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {x}\vert }{n+1}}\,.$

Dies ist für ${}n\geq 2\vert {x}\vert$ kleiner als ${}1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne

$5^{\frac {2}{3}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Lösung

Es ist

${}x\leq 5^{\frac {2}{3}}\,$

genau dann, wenn

${}x^{3}\leq 5^{2}=25\,$

ist. Es ist

${}(2,9)^{3}=24,389<25\,$

und

${}3^{3}=27>25\,,$

also ist

${}2,9<5^{\frac {2}{3}}<3\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Lösung

Die Ableitung des Sinus ist nach Satz 16.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) der Kosinus. Dieser hat im Innern von ${}[-\pi /2,\pi /2]$ keine Nullstelle, da ja ${}\pi /2$ als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle ${}0$ den Wert ${}1$. Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen ${}\sin \left(-\pi /2\right)=-1$ und ${}\sin \left(\pi /2\right)=1$ ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall ${}[-1,1]$ und der Sinus ist bijektiv.

Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (3)]].

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige gerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt.

Lösung

Wir setzen

${}f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,.$

Diese Funktion ist stetig, was für ${}x\neq 0$ klar ist und für ${}x=0$ daraus folgt, dass der Kosinus beschränkt ist und daher der Limes von ${}x^{2}\cos {\frac {1}{x}}$ für ${}x\rightarrow 0$ gleich ${}0$ ist. Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, gilt

${}f(-x)=(-x)^{2}\cos {\frac {1}{-x}}=x^{2}\cos \left(-{\frac {1}{x}}\right)=x^{2}\cos {\frac {1}{x}}=f(x)\,,$

also ist ${}f$ gerade. Im Nullpunkt liegt kein lokales Extremum vor, da an den Stellen

${}x={\frac {1}{2n\pi }}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Funktion positive und an den Stellen

${}y={\frac {1}{(1+2n)\pi }}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Funktion negative Werte besitzt, und diese Stellen beliebig nahe an der ${}0$ liegen.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)=x^{2}+2x-3\,.$

Bestimme den Flächeninhalt des durch die ${}x$-Achse und den Graphen von ${}f$ eingeschränkten Gebietes.

Lösung

Die Nullstellen von ${}x^{2}+2x-3$ sind

${}x_{1,2}=-3,1\,.$

Im Intervall ${}[-3,1]$ ist ${}f$ negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals

${}{\begin{aligned}\int _{-3}^{1}x^{2}+2x-3\,dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}+x^{2}-3x\right)|_{-3}^{1}\\&=-{\frac {5}{3}}-(-9+9+9)\\&=-{\frac {32}{3}},\end{aligned}}$

also gleich ${}{\frac {32}{3}}$.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}90\%$ bei ${}A$, ${}0\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}15\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}15\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge ${}A,B,C$ und Nichtleser) beschreibt, ist

${\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}.$

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ${}(20000,20000,20000,40000)$ ist

${}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}20000\\20000\\20000\\40000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24000\\18000\\22000\\36000\end{pmatrix}}\,.$

c) Die Ausgangsverteilung ist ${}(0,0,0,100000)$, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich ${}(10000,10000,10000,70000)$.

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

${}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10000\\10000\\10000\\70000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}17000\\14000\\16000\\53000\end{pmatrix}}\,.$

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}17000\\14000\\16000\\53000\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}22000\\15300\\19450\\43250\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {7}{4}}\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {5}{4}}&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}4&0\\0&{\frac {7}{4}}\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {12}{7}}&-{\frac {4}{7}}\\-{\frac {5}{4}}&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&-{\frac {1}{7}}\\-{\frac {5}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{pmatrix}}$

Die inverse Matrix ist also ${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&-{\frac {1}{7}}\\-{\frac {5}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

1. Zeige durch Induktion über ${}n$, dass die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.

Lösung

1. Die Aussage ist offenbar richtig für ${}n=1$. Zum Induktionsschluss ziehen wir die induktive Definition der Determinante heran, es ist

   ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\,.$

   Nach Induktionsvoraussetzung sind die ${}\det M_{i}$ ganzzahlig, nach Voraussetzung sind die ${}a_{i1}$ ganzzahlig, und damit ist auch diese Summe ganzzahlig.

2. Es ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}=1-4=-3\,.$