Lösung
- Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
- Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung
-
gilt.
- Man sagt, dass in das Maximum annimmt, wenn
-
- Eine
Funktion
-
heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
-
von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall
konstant
ist.
- Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor
-
eine Linearkombination dieser Vektoren
- Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit
-
gibt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
- Der Satz über die Differenz zwischen Stammfunktionen.
- Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
Lösung
Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
Lösung
Lösung
Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
Lösung
Lösung
Lösung
Entscheide, ob die
Folge
-
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Lösung
Beweise den Zwischenwertsatz.
Lösung
Wir beschränken uns auf die Situation
und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
und ,
betrachtet die Intervallmitte
und berechnet
-
Bei
setzt man
-
und bei
setzt man
-
In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
Intervallschachtelung.
Sei die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Satz 8.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
definierte
reelle Zahl.
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert , also
.
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
und das überträgt sich ebenfalls auf , also
. Also ist
.
Bestimme die
Ableitung der Funktion
-
Lösung
Wir verwenden die Darstellung .
Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
-
Lösung
Bestimme das
Taylor-Polynom
der Ordnung zur Funktion
-
im Entwicklungspunkt
.
Lösung
Wir berechnen zuerst die Ableitungen, diese sind
-
-
-
-
Somit ist
-
Das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt ist demnach
-
Lösung
Die Ableitung von
ist
-
Somit ist
-
-
-
-
Diese Daten legen die linearen Approximationen fest. Wir setzen das gesuchte Polynom als
-
an. Die Ableitung davon ist
-
Aus den Werten an der Stelle folgt direkt
-
und
-
Somit verbleiben die beiden Bedingungen
-
und
-
Die Differenz dieser beiden Gleichungen führt auf
-
bzw.
-
also
-
Somit ist
-
Das gesuchte Polynom ist also
-
Bestimme eine Stammfunktion von .
Lösung
Lösung
Es ist
-
und
-
Diese Bildvektoren müssen wir bezüglich der Basis ausdrücken. Der Ansatz
-
bzw.
-
führt auf
-
und damit auf
und .
Der Ansatz
-
bzw.
-
führt auf
-
und damit auf
und .
Daher ist die beschreibende Matrix von bezüglich der Basis
und
gleich
-
Lösung
a) Bei einer linearen Abbildung ist , also ist . Es seien . Dann ist
, also . Für und ist schließlich
-
also . Damit ist der Kern ein Untervektorraum von .
b) Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen weiteren Vektor
mit
geben. Also ist
.
Es sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
-
Daher ist
und damit
.
a) Bestimme, ob die
komplexe
Matrix
-
invertierbar
ist.
b) Finde eine Lösung für das
inhomogene lineare Gleichungssystem
-
Lösung
a) Wir berechnen die Determinante der Matrix. Diese ist
Insbesondere ist die Matrix invertierbar.
b) Es ist
Daher können wir direkt eine Lösung angeben, nämlich
-
Es ist ja