Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/4/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 3 | 3 | 2 | 6 | 7 | 2 | 7 | 4 | 7 | 4 | 5 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine
ortsunabhängige
gewöhnliche Differentialgleichung
- Ein euklidischer Vektorraum.
- Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld längs eines stetig differenzierbaren Weges .
- Eine
polynomiale
Funktion
- Ein lokales Maximum einer Funktion
auf einem metrischen Raum in einem Punkt .
- Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
- Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
- Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme das orthogonale Komplement zu der von und erzeugten Ebene .
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld
längs des Weges
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixierter Vektor und
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
für alle . Es sei
eine Lösung zur Differentialgleichung
Zeige, dass auch
eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
b) Löse das Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form und es seien gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige
Aufgabe * (7 (2+1+1+3) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
mit
a) Zeige, dass stetig ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.
d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)
Wir betrachten die Funktion auf dem .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
- Zeige, dass keine lokalen Extrema besitzt.
- Es sei
der Einheitskreis und die Einschränkung von auf . Bestimme die lokalen Extrema von .
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
Aufgabe * (5 Punkte)
Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf durch die Standardparabel und die durch gegebene Gerade begrenzt wird.