Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/4/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 3 3 2 6 7 2 7 4 7 4 5 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
  2. Ein euklidischer Vektorraum.
  3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld längs eines stetig differenzierbaren Weges .
  4. Eine polynomiale Funktion
  5. Ein lokales Maximum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum in einem Punkt .

  6. Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
  2. Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
  3. Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu der von und erzeugten Ebene .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixierter Vektor und

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

für alle . Es sei

eine Lösung zur Differentialgleichung

Zeige, dass auch

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.


Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form und es seien gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige


Aufgabe * (7 (2+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

a) Zeige, dass stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion auf dem .

  1. Bestimme die kritischen Punkte von .
  2. Zeige, dass keine lokalen Extrema besitzt.
  3. Es sei

    der Einheitskreis und die Einschränkung von auf . Bestimme die lokalen Extrema von .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  2. Bestimme die kritischen Punkte von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf durch die Standardparabel und die durch gegebene Gerade begrenzt wird.