Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Dimensionstheorie}
Ein endlich erzeugter Vektorraum hat im Allgemeinen ganz unterschiedliche Basen. Allerdings ist die Anzahl der Elemente in einer Basis stets konstant und hängt nur vom Vektorraum ab. Diese wichtige Eigenschaft werden wir jetzt beweisen und als Ausgangspunkt für die Definition der Dimension eines Vektorraums nehmen.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Vektor mit einer Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_k
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei für ein bestimmtes $k$.}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Familie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{k-1} , w, v_{k+1} , \ldots , v_n} { }
eine Basis von $V$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Zunächst kann man wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_k
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Vektor $v_k$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_k
}
{ =} { \frac{1}{ s_k} w - \sum_{i = 1}^{k-1} \frac{ s_i}{ s_k} v_i - \sum_{i = k+1}^{n} \frac{ s_i}{ s_k} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ u
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n t_i v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{k-1} t_i v_i + t_k v_k + \sum_{i = k+1}^n t_i v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{k-1} t_i v_i + t_k { \left( \frac{1}{ s_k}w - \sum_{i = 1}^{k-1} \frac{ s_i}{ s_k} v_i - \sum_{i = k+1}^{n} \frac{ s_i}{ s_k} v_i \right) } + \sum_{i = k+1}^n t_i v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{k-1} { \left( t_i - t_k \frac{ s_i}{ s_k} \right) } v_i + \frac{ t_k }{ s_k}w + \sum_{i = k+1}^n { \left( t_i - t_k \frac{ s_i}{ s_k} \right) } v_i
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t_1w + \sum_{i = 2}^n t_iv_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Darstellung der Null. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { t_1 w + \sum_{i = 2}^n t_iv_i
}
{ =} { t_1 { \left( \sum_{i = 1}^n s_i v_i \right) } + \sum_{i = 2}^n t_iv_i
}
{ =} { t_1 s_1v_1 + \sum_{i = 2}^n { \left( t_1 s_i+ t_i \right) } v_i
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1 s_1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Deshalb ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 2}^n t_iv_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$.}
{}
Die vorstehende Aussage heißt \stichwort {Austauschlemma} {,} die nachfolgende \stichwort {Austauschsatz} {.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {b_1 , \ldots , b_n} { . }
}
\faktvoraussetzung {Ferner sei
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
eine Familie von
\definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{}
Vektoren in $V$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J
}
{ =} { \{ i_1, i_2 , \ldots , i_k \}
}
{ \subseteq} { \{1 , \ldots , n \}
}
{ =} { I
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass die Familie
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, b_i, i \in I \setminus J} { , }
eine Basis von $V$ ist.}
\faktzusatz {Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über $k$, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für $k$ schon bewiesen und seien
\mathl{k+1}{} linear unabhängige Vektoren
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, u_{k+1}} { }
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die
\zusatzklammer {ebenfalls linear unabhängigen} {} {} Vektoren
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
gibt es eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ = }{ \{ i_1, i_2 , \ldots , i_k \}
}
{ \subseteq }{ \{1 , \ldots , n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Familie
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, b_i, i \in I \setminus J} { , }
eine Basis von $V$ ist. Wir wollen auf diese Basis
das Austauschlemma
anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_{k+1}
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k c_j u_j + \sum_{ i \in I \setminus J} d_i b_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben.
Wären hierbei alle Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,} so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der
\mathbed {u_j} {}
{j=1 , \ldots , k+1} {}
{} {} {} {.}
Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I \setminus J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_i
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i_{k+1}
}
{ \defeq }{ i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J'
}
{ = }{ \{ i_1, i_2 , \ldots , i_k, i_{k+1} \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\mathl{(k+1)}{-}elementige Teilmenge von
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.} Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor
\mathkor {} {b_{i_{k+1} }} {durch} {u_{k+1}} {}
ersetzen und erhält die neue Basis
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, u_{k+1}, b_i, i \in I \setminus J'} { . }
Der Zusatz folgt sofort, da eine $k$-elementige Teilmenge einer $n$-elementigen Menge vorliegt.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem endlichen
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzen je zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{} von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ b }
}
{ = }{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ = }{ u_1 , \ldots , u_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Basen von $V$.
Aufgrund des Basisaustauschsatzes,
angewandt auf die Basis $\mathfrak{ b }$ und die linear unabhängige Familie $\mathfrak{ u }$ ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also insgesamt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieser Satz erlaubt die folgende Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem endlichen
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{.}
Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ die \definitionswort {Dimension}{} von $V$, geschrieben
\mathdisp {\dim_{ K } { \left( V \right) }} { . }
}
Wenn ein Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, so setzt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Nullraum $0$ hat die Dimension $0$. Einen eindimensionalen Vektorraum nennt man auch eine \stichwort {Gerade} {,} einen zweidimensionalen Vektorraum eine \stichwort {Ebene} {,} einen dreidimensionalen Vektorraum einen \stichwort {Raum} {} (im engeren Sinn), wobei man andererseits auch jeden Vektorraum einen Raum nennt.
\inputfaktbeweis
{Standardraum/K^n/Dimension n/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt der
\definitionsverweis {Standardraum}{}{} $K^n$ die
\definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathbed {e_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} besteht aus $n$ Vektoren, also ist die Dimension $n$.
\inputbeispiel{}
{
Die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} bilden einen zweidimensionalen reellen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} eine Basis ist z.B. \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ ist kein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum}{}{.}
Es ist zu zeigen, dass es kein endliches
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
des Polynomringes gibt. Betrachten wir $n$ Polynome
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{.} Es sei $d$ das Maximum der
\definitionsverweis {Grade}{}{}
dieser Polynome. Dann hat auch jede
$K$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i=1}^n a_i P_i}{} maximal den Grad $d$. Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Erzeugendensystem für alle Polynome.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $U$ ebenfalls endlichdimensional und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ \leq} { \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Jede linear unabhängige Familie in $U$ ist auch linear unabhängig in $V$. Daher kann es
aufgrund des Basisaustauschsatzes
in $U$ nur linear unabhängige Familien der Länge $\leq n$ geben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es in $U$ eine linear unabhängige Familie mit $k$ Vektoren gibt, aber nicht mit
\mathl{k+1}{} Vektoren. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ = }{ u_1 , \ldots , u_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in $U$ und daher wegen
Satz 7.12
eine Basis von $U$.
{Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben.}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.1. }
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Man kann sich einfach einen Überblick über die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
des $K^n$ verschaffen, als
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von Untervektorräumen kommt nach
Korollar 8.8
nur
\mathbed {k} {mit}
{0 \leq k \leq n} {}
{} {} {} {}
in Frage. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nur den Nullraum selbst, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es den Nullraum und $K$ selbst. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es den Nullraum, die gesamte Ebene $K^2$, und die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt. Jede solche Gerade $G$ hat die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { Kv
}
{ =} { { \left\{ s v \mid s \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v$. Zwei von $0$ verschiedene Vektoren definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn sie
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es den Nullraum, den Gesamtraum $K^3$, die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt und die zweidimensionalen Ebenen durch den Nullpunkt.
}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Basisergänzungssatz} {.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es seien
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{}
Vektoren in $V$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es Vektoren
\mathdisp {u_{k+1} , \ldots , u_n} { }
derart, dass
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, u_{k+1} , \ldots , u_n} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ bilden.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$.
Aufgrund des Austauschsatzes
findet man
\mathl{n-k}{} Vektoren aus der Basis $\mathfrak{ b }$, die zusammen mit den vorgegebenen
\mathl{u_1 , \ldots , u_k}{} eine Basis von $V$ bilden.
\zwischenueberschrift{Basiswechsel}
Wir wissen bereits, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten \zusatzklammer {oder Koeffizienten} {} {.} Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ij}
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wir zur
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { { \left( c_{ij} \right) }_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zusammenfassen.}
\faktfolgerung {Dann hat ein Vektor $u$, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten $\begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}$ besitzt, bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} t _{1 } \\ \vdots\\ t _{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11 } & c_{1 2} & \ldots & c_{1 n } \\
c_{21 } & c_{2 2} & \ldots & c_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{ n 1 } & c_{ n 2 } & \ldots & c_{ n n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j v_j
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j { \left( \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j c_{ij} \right) } w_i
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Definition der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{.}
Die Matrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }}{,} die den Basiswechsel von
\mathl{\mathfrak{ v }}{} nach
\mathl{\mathfrak{ u }}{} beschreibt, nennt man auch die \stichwort {Transformationsmatrix} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Übergangsmatrix} {}} {} {.}
In der $j$-ten Spalte der Transformationsmatrix stehen also die Koordinaten von $v_j$ bezüglich der Basis
\mathl{\mathfrak{ u }}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten im $\R^2$ die
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Basis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Basisvektoren von $\mathfrak{ v }$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } v_2= \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}} { . }
Daher erhält man sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich $\mathfrak{ v }$ die
\definitionsverweis {Koordinaten}{}{}
\mathl{(4,-3)}{} besitzt, bezüglich der Standardbasis $\mathfrak{ u }$ die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 10 \\-1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }}{} ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
von
\mathkor {} {v_1} {und} {v_2} {}
ausdrücken. Eine direkte Rechnung
\zusatzklammer {dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen} {} {}
ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} - { \frac{ 2 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \\ - { \frac{ 2 }{ 7 } } & { \frac{ 1 }{ 7 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
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