Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 33/latex

\setcounter{section}{33}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die konstante Abbildung \maabbeledisp {f} {L} {M } {x} {m } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Identität \maabbeledisp {} {M} {M } {x} {x } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge mit der \definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{.} Zeige, dass die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ < }{ b }
{ < }{ c }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{.} Es seien \maabbdisp {f} { [a,b] } { M } {} und \maabbdisp {g} {[b,c]} {M } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(b) }
{ = }{ g(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann die Abbildung \maabbdisp {h} {[a,c]} {M } {} mit
\mathdisp {h(t) = f(t) \text{ für } t \leq b \text{ und } h(t) = g(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(y) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $y$ aus einer offenen Ballumgebung von $x$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $L$ und $M$ \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es seien \maabbdisp {f,g} {L} {M } {} zwei \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N }
{ =} { { \left\{ x \in L \mid f(x) = g(x) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $L$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Addition}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x+y } {,} und die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x \cdot y } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C} } {{\mathbb C} } {z} { \betrag { z } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im \definitionsverweis {euklidischen Raum}{}{} $\R^n$. Zeige, dass $V$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} im $\R^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf dem $\R^n$ die \definitionsverweis {euklidische Metrik}{}{,} die \definitionsverweis {Summenmetrik}{}{} und die \definitionsverweis {Maximumsmetrik}{}{} dieselben \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{} definieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \stichwort {trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises} {,} also die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {[0,2 \pi [} {\R^2 } {t} { ( \cos t, \sin t ) } {.} Zeige, dass $\varphi$ eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathl{[0,2 \pi[}{} und dem \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} definiert, die \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} aber nicht stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {Y} {X } {} die \definitionsverweis {Identität}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $f^{-1}$ aber nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^m } { {\mathbb K}^n } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{,} die in jeder \definitionsverweis {Komponente}{}{} \definitionsverweis {polynomial}{}{} sei und sei \maabbdisp {g} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $\R^n$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen
\mathl{z_i,\, i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass $f$ auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^{n^2} \cong\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K}) } { {\mathbb K} } {M} { \det M } {,} eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,r }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \stichwort {Kreis} {} mit dem \stichwort {Mittelpunkt} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ (a,b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dem \stichwort {Radius} {} $r$. Es sei $G$ eine \stichwort {Gerade} {} in $\R^2$ mit der Eigenschaft, dass es auf $G$ mindestens einen Punkt $P$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(M,P) }
{ \leq }{ r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K \cap G }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Im Nullpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} befinde sich die Pupille eines Auges \zusatzklammer {oder eine Linse} {} {} und die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bestimmte Ebene sei die Netzhaut
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \cong }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {oder eine Fotoplatte} {} {.} Bestimme die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \R_+ \times \R \times \R } { \R^2 } {,} die das Sehen \zusatzklammer {oder Fotografieren} {} {} beschreibt \zusatzklammer {d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet} {} {.} Ist diese Abbildung \definitionsverweis {stetig}{}{,} ist sie \definitionsverweis {linear}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ein Billardtisch sei $127$ cm breit und $254$ cm lang, die Kugeln haben einen Radius von $2$ cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis\zusatzfussnote {Diese Aufgabe ergibt auch Sinn, wenn die Löcher volle Kreise um die Eckpunkte sind, hat aber ein anderes Ergebnis} {.} {} mit Radius $5$ cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt \zusatzklammer {ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln} {} {} in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren \anfuehrung{Äquator}{} durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $L,M,N$ \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und seien
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g: M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Es sei $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} in $x \in L$ und es sei $g$ stetig in $f(x) \in M$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {,} stetig in $x$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} \maabbeledisp {} {V} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{} von $f$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabe
{}
{

Fertige in der Situation der Aufgabe 33.18 eine hochladbare Grafik an, die auf dem Billardtisch die Linien von gleichem Schwierigkeitsgrad \zusatzklammer {also gleicher Winkeltoleranz zum Einlochen} {} {} zeigt.

}
{} {}