Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 39/latex

\setcounter{section}{39}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {,} die durch eine Matrix der Form
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}}{} gegeben ist.

}
{} {}

Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$ besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung
\mathl{f \mapsto f'}{} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} von $V$ nach $V$ ist.

b) Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{\zusatzfussnote {In diesem Zusammenhang spricht man auch von \stichwort {Eigenfunktionen} {}} {.} {.}}

c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} und deren \definitionsverweis {Dimension}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungdrei{Der \definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }} { }
ist ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $V$. }{$\lambda$ ist genau dann ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu $\varphi$, wenn der Eigenraum $\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }$ nicht der \definitionsverweis {Nullraum}{}{} ist. }{Ein Vektor
\mathl{v \in V, \, v \neq 0}{,} ist genau dann ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zu $\lambda$, wenn $v \in \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }$ ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ =} { \operatorname{Eig}_{ 0 } { \left( \varphi \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {Eigenraum}{}{.} Zeige, dass sich $\varphi$ zu einer linearen Abbildung \maabbeledisp {\varphi {{|}}_U} {U} {U } {v} {\varphi(v) } {,} einschränken lässt, und dass diese Abbildung die \definitionsverweis {Streckung}{}{} um den Stre\-ckungsfaktor $\lambda$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es dann nur endlich viele \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $\varphi$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ 2 } ({\mathbb C}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mindestens einen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit $n$ \zusatzklammer {paarweise} {} {} verschiedenen \definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} derart, dass $\varphi$ keine \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} besitzt, dass aber eine gewisse \definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mathbed {\varphi^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {,} Eigenwerte besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^n }
{ =} { \operatorname{Id}_{ V } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für ein gewisses
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{\zusatzfussnote {Der Wert
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist hier erlaubt, aber aussagelos} {.} {.}} Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ von $\varphi$ die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1 }
{ \neq }{ \lambda_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente in $K$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Homothety_in_two_dim.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Homothety in two dim.svg } {} {Lantonov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Streckung}{}{} ist, wenn jeder Vektor $v \in V, \, v \neq 0,$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $\varphi$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $M$ als reelle Matrix keine \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} von $M$ als \definitionsverweis {komplexer}{}{} Matrix.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Betrachte die \definitionsverweis {reellen}{}{} \definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man charakterisiere in Abhängigkeit von $a,b,c,d$, wann eine solche Matrix \aufzaehlungvier{zwei verschiedene \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,} }{einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen \definitionsverweis {Eigenraum}{}{,} }{einen Eigenwert mit einem eindimensionalen \definitionsverweis {Eigenraum}{}{,} }{keinen Eigenwert, } besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$ und $v$ ein zugehöriger \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{.} Zeige, dass es zu einer gegebenen \definitionsverweis {Basis}{}{} $v, u_2 , \ldots , u_n$ von $V$ eine Basis $v, w_2 , \ldots , w_n$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \langle v, u_j \rangle }
{ = }{ \langle v,w_j \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(w_j) }
{ \in} { \langle u_i ,\, i = 2 , \ldots , n \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ = }{ 2 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Zeige ebenso, dass dies bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht möglich ist.

}
{} {}