Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 40

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&5&3\\7&4&2\\3&7&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

${\begin{pmatrix}5&7\\3&4\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass für jedes ${}\lambda \in K$ die Beziehung

${}\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die Determinante von ${}M$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}P(\lambda )$ ein Eigenwert von ${}P(\varphi )$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe

Es sei

${}A={\begin{pmatrix}-4&6&6\\0&2&0\\-3&3&5\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${}A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass ${}C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1\leq m\leq n$. Man gebe Beispiele für ${}n\times n$- Matrizen ${}M$ derart, dass ${}a$ ein Eigenwert zu ${}M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit ${}n$ und der geometrischen Vielfachheit ${}m$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

${\begin{pmatrix}-3&8&5\\4&7&1\\2&-4&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}A={\begin{pmatrix}-5&0&7\\6&2&-6\\-4&0&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${}A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass ${}C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes ${}\lambda \in \mathbb {Q}$ die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&-4&5\\0&-1&2\\0&0&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,$

gleich

${}\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ mindestens einen Eigenvektor besitzt.

Fußnoten