Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 40
- Das charakteristische Polynom
Wir möchten zu einem Endomorphismus die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.
Für bedeutet dies
In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring . Da wir sie aber als Elemente im Körper der rationalen Funktionen auffassen können,[2] ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in , da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist und der Leitkoeffizient ist , d.h. die Gestalt ist
Es gilt die wichtige Beziehung
für jedes , siehe Aufgabe 40.3.
Für eine lineare Abbildung
auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das charakteristische Polynom
wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der Determinantenmultiplikationssatz zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist.
Satz
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Beweis
Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist
genau dann, wenn die lineare Abbildung
nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 11.11 und Lemma 10.6). Dies ist nach Fakt ***** und Lemma 9.12 äquivalent zu
was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.
Beispiel
Wir betrachten die reelle Matrix . Das charakteristische Polynom ist
Die Eigenwerte sind also (diese Eigenwerte haben wir auch in Beispiel 39.9 ohne charakteristisches Polynom gefunden).
Beispiel
Zur Matrix
ist das charakteristische Polynom gleich
Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung
die über nicht erfüllbar ist, so dass die Matrix über keine Eigenwerte besitzt. Über hingegegen gibt es die beiden Eigenwerte und . Für den Eigenraum zu muss man
bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist . Analog ist
Beispiel
Für eine obere Dreiecksmatrix
ist das charakteristische Polynom nach Lemma 11.8 gleich
In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, so dass unmittelbar seine Nullstellen und damit die Eigenwerte von ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente (die nicht alle verschieden sein müssen).
- Vielfachheiten
Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll. Es sei
. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom die algebraische Vielfachheit von , die wir mit bezeichnen, und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also
die geometrische Vielfachheit von . Der vorstehende Satz besagt also, dass die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt. Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.
Lemma
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und .
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
Beweis
Sei und sei eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe ***** gleich , so dass die algebraische Vielfachheit mindestens ist.
Beispiel
Wir betrachten -Scherungsmatrizen
mit . Das charakteristische Polynom ist
so dass der einzige Eigenwert von ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als
Aus
folgt, dass ein Eigenvektor ist, und dass bei der Eigenraum eindimensional ist (bei liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts gleich , die geometrische Vielfachheit gleich .
- Diagonalisierbarkeit
Die Einschränkung einer linearen Abbildung auf einen Eigenraum ist die Streckung um den zugehörigen Eigenwert, also eine besonders einfache lineare Abbildung. Viele Eigenwerte mit hochdimensionalen Eigenräumen korrespondieren zu strukturell einfachen linearen Abbildungen. Ein Extremfall liegt bei den sogenannten diagonalisierbaren Abbildungen vor.
Bei einer Diagonalmatrix
ist das charakteristische Polynom einfach gleich
Wenn die Zahl in den Diagonalelementen -mal vorkommt, so kommt auch der Linearfaktor mit dem Exponenten in der Faktorisierung des charakteristischen Polynoms vor. Dies gilt auch, wenn nur eine obere Dreiecksmatrix vorliegt. Anders aber als bei einer oberen Dreiecksmatrix kann man bei einer Diagonalmatrix sofort die Eigenräume angeben, siehe Beispiel 39.7, und zwar besteht der Eigenraum zu aus allen Linearkombinationen der Standardvektoren , für die gleich ist. Insbesondere ist die Dimension des Eigenraums gleich der Anzahl, wie oft als Diagonalelement auftritt. Bei einer Diagonalmatrix stimmen also algebraische und geometrische Vielfachheiten überein.
Definition
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.
Satz
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist diagonalisierbar.
- Es gibt eine Basis von derart, dass die beschreibende Matrix eine Diagonalmatrix ist.
- Für jede beschreibende Matrix
bezüglich einer Basis gibt es eine
invertierbare Matrix
derart, dass
eine Diagonalmatrix ist.
Beweis
Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Definition, aus Beispiel 39.7 und der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Korollar 10.5.
Korollar
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung, die verschiedene Eigenwerte besitze.
Dann ist diagonalisierbar.
Beweis
Aufgrund von Lemma 39.14 gibt es linear unabhängige Eigenvektoren. Diese bilden nach Korollar 8.9 eine Basis.
Beispiel
Wir schließen an Beispiel 39.9 an. Es gibt die beiden Eigenvektoren und zu den verschiedenen Eigenwerten und , so dass die Abbildung nach Korollar 40.10 diagonalisierbar ist. Bezüglich der Basis aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix
beschrieben.
Die Übergangsmatrix von der Basis zur durch und gegebenen Standardbasis ist einfach
Die inverse Matrix dazu ist
Gemäß Korollar 10.5 besteht die Beziehung
- Fußnoten
- ↑ Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von anstatt von . Dies ändert aber - und zwar nur bei ungerade - nur das Vorzeichen.
- ↑ heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen zu Polynomen mit . Bei oder kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren.
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