Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 41

Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

gilt.

Beweis

Wenn ${}\varphi$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag ${}\lambda$ trägt als Linearfaktor ${}X-\lambda$ bei.

Für die Umkehrung seien ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und

${}\mu _{i}:=\mu _{\lambda _{i}}(\varphi )=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ sein. Nach Fakt ***** ist die Summe der Eigenräume

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\subseteq V\,$

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich ${}n$, sodass Gleichheit vorliegt. Nach Fakt ***** ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

$\Box$

Das Produkt von zwei Diagonalmatrizen ist natürlich wieder eine Diagonalmatrix. Das folgende Beispiel zeigt, dass das Produkt von diagonalisierbaren Matrizen nicht diagonalisierbar sein muss.

Beispiel

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ zwei Geraden im ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch den Nullpunkt und es seien ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets diagonalisierbar, und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden (zu den Eigenwerten ${}1$ und ${}-1$). Die Hintereinanderschaltung

${}\psi =\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

dieser Spiegelungen ist eine Drehung, und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel ${}0$ oder ${}180$ Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von ${}0,90$ Grad verschieden ist, so besitzt ${}\psi$ keinen Eigenvektor.

Trigonalisierbare Abbildungen und jordansche Normalform

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie [[{{{Beispielseitenname2}}}|Beispiel]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/{{{Beispielseitenname2}}}/Beispielreferenznummer|*****]] zeigt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis

Wir beweisen nur die Richtung von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach

Lemma 11.8

das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen. Die Rückrichtung ist deutlich aufwändiger.

$\Box$

Satz

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist ${}M$ trigonalisierbar.

Beweis

Dies folgt aus Satz 41.4 und dem Fundamentalsatz der Algebra.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten eine reelle ${}2\times 2$-Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$. Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\left(xE_{2}-M\right)}\\&=\det {\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}}\\&=(x-a)(x-d)-bc\\&=x^{2}-(a+d)x+ad-bc\\&={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}+ad-bc\\&={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}-bc.\end{aligned}}$

Dieses Polynom zerfällt in (reelle) Linearfaktoren genau dann, wenn ${}{\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}+bc\geq 0$ ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix nach Fakt ***** trigonalisierbar.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\lambda \in K$. Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert ${}\lambda$) versteht man eine quadratische Matrix der Form

${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.$

Wenn man eine solche Jordanmatrix als lineare Abbildung ${}\varphi$ des Standardraumes ${}K^{n}$ in sich interpretiert, so ist

$\varphi (e_{1})=\lambda e_{1}{\text{ und }}\varphi (e_{k})=\lambda e_{k}+e_{k-1}{\text{ für alle }}k\geq 2.$

Insbesondere ist ${}e_{1}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda$. Eine einfache Überlegung zeigt, dass es keine dazu linear unabhängigen Eigenvektoren geben kann (siehe Aufgabe 41.11). Die Eigenschaft rechts ist äquivalent zur Bedingung

$e_{k-1}=(\varphi -\lambda \cdot \operatorname {Id} )(e_{k})$

für ${}k\geq 2$. Als Eigenvektor ist ${}e_{1}$ ein erzeugendes Element des Kerns der Abbildung ${}\psi :=\varphi -\lambda \operatorname {Id}$, und die anderen Standardvektoren ${}e_{k}$ ergeben sich sukzessive als Urbild von ${}e_{k-1}$ unter ${}\psi$. Diese Beobachtung liefert den Hintergrund für das weiter unten beschriebene Verfahren zum Aufstellen einer Jordanmatrix.

Definition

Eine quadratische Matrix der Form

${\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},$

wobei die ${}J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.

Die dabei auftretenden Jordanmatrizen heißen Jordanblöcke der Matrix. Ihre Eigenwerte können verschieden oder gleich sein. In der Matrix

${\begin{pmatrix}2&1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&1&0\\0&0&0&0&4&0\\0&0&0&0&0&2\end{pmatrix}}$

gibt es drei Jordanblöcke, nämlich

${\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4&1&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}$

zu den Eigenwerten ${}2,4$ und nochmal ${}2$.

Definition

Zwei quadratische Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit ${}M=BNB^{-1}$ gibt.

Satz

Eine obere Dreiecksmatrix

ist ähnlich zu einer Matrix in jordanscher Normalform.

Beweis

Wir verzichten auf den recht aufwändigen Beweis.

$\Box$

Diese Aussage kann man so interpretieren, dass es für eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${}\varphi$ eine Basis gibt derart, dass ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis durch eine Matrix in jordanscher Normalform beschrieben wird. Über den komplexen Zahlen kann man dies also stets erreichen.

Verfahren  

Wir beschreiben, wie man zu einer linearen trigonalisierbaren Abbildung eine Basis findet, bezüglich der die beschreibende Matrix in jordanscher Normalform ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert ${}\lambda \in K$ den minimalen Exponenten ${}s$ mit

${}\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s+1}\,$

und setzt

${}V_{i}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{i}\,$

für ${}i=1,\ldots ,s$. Dies ergibt eine Kette

${}V_{1}=\operatorname {Eig} _{}{\left(\lambda \right)}\subseteq V_{2}\subset \cdots \subset V_{s-1}\subset V_{s}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,.$

Man wählt nun aus ${}V_{s}\setminus V_{s-1}$ einen Vektor ${}u$. Die Vektoren

$u,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )(u),(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{2}(u),\ldots ,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{s-1}(u)$

bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in ${}V_{s}\setminus V_{s-1}$ einen weiteren, zu ${}u$ und ${}V_{s-1}$ linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn ${}V_{s}\setminus V_{s-1}$ ausgeschöpft ist, schaut man, ob ${}V_{s-1}\setminus V_{s-2}$ bereits abgedeckt ist, u.s.w. Wenn der Hauptraum zu ${}\lambda$ ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter.

Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu ${}\lambda$ eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor ${}v$ zu ${}\lambda$ wählen und dazu sukzessive Urbilder unter ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden, also

${}v={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v')\,$

lösen, dann

${}v'={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v'')\,$

u.s.w.

Wenn beispielsweise der Eigenraum ${}k$-dimensional und der Hauptraum ${}(k+1)$-dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden.

Beispiel

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&2&1\\0&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}\,$

und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es ist ${}u=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}2$. Es ist

${}A:=M-2E_{3}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

sodass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem ${}e_{1}=Av$. Daraus ergibt sich sofort (aus der zweiten Zeile) ${}v_{3}=0$ und somit ${}2v_{2}=1$ (${}v_{1}$ können wir frei als ${}0$ wählen). Also setzen wir ${}v={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}$. Schließlich brauchen wir eine Lösung für ${}v=Aw$. Dies führt auf ${}w={\begin{pmatrix}0\\-{\frac {1}{12}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}$. Für die durch die Matrix ${}M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit

$Mu=2u,\,Mv=2v+u,\,Mw=2w+v,$

sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch

${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird. Diese Matrix ist eine Jordanmatrix und insbesondere in jordanscher Normalform.

Beispiel

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}\,$

und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind ${}u=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}v=e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert ${}2$. Es ist

${}A:=M-2E_{3}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

sodass ${}u$ und ${}v$ den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix ${}A$ sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem

${}e_{2}=Aw\,$

die Lösung ${}w={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$.

Für die durch die Matrix ${}M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit

$Mu=2u,\,Mv=2v,\,Mw=2w+v,$

sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch

${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken ${}(2)$ und ${}{\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}$.

Fußnoten

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