Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 39

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung ${}f\mapsto f'$ eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}V$ ist.

b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.

c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$. Zeige folgende Aussagen.

1. Der Eigenraum

   $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$

   ist ein Untervektorraum von ${}V$.

2. ${}\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn der Eigenraum ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ nicht der Nullraum ist.
3. Ein Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0$, ist genau dann ein Eigenvektor zu ${}\lambda$, wenn ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ und sei

${}U=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\,$

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich ${}\varphi$ zu einer linearen Abbildung

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U,\,v\longmapsto \varphi (v),$

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ${}\lambda$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{2}({\mathbb {C} })$ mindestens einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

derart, dass ${}\varphi$ keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz ${}\varphi ^{n}$, ${}n\geq 2$, Eigenwerte besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung mit

${}\varphi ^{n}=\operatorname {Id} _{V}\,$

für ein gewisses ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass jeder Eigenwert ${}\lambda$ von ${}\varphi$ die Eigenschaft ${}\lambda ^{n}=1$ besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0,$ ein Eigenvektor von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass ${}M$ als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von ${}M$ als komplexer Matrix.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,.$

Man charakterisiere in Abhängigkeit von ${}a,b,c,d$, wann eine solche Matrix

1. zwei verschiedene Eigenwerte,
2. einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
3. einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
4. keinen Eigenwert,

besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \neq 0$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis ${}v,u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ eine Basis ${}v,w_{2},\ldots ,w_{n}$ gibt mit ${}\langle v,u_{j}\rangle =\langle v,w_{j}\rangle$ und mit

${}\varphi (w_{j})\in \langle u_{i},\,i=2,\ldots ,n\rangle \,$

für alle ${}j=2,\ldots ,n$.

Zeige ebenso, dass dies bei ${}\lambda =0$ nicht möglich ist.

Fußnoten