Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 38

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

{}y^{\prime \prime }=y\,.

Löse damit das Anfangswertproblem

y^{\prime \prime }=y{\text{ mit }}y(0)=3{\text{ und }}y^{\prime }(0)=-2.

Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung

y'=y

mit der Anfangsbedingung ${}y(0)=1$ . Bestimme zur Schrittweite ${}s={\frac {1}{k}}$ die approximierenden Punkte ${}P_{n}$ gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere ${}P_{k}$ . Was passiert mit ${}P_{k}$ für ${}k\rightarrow \infty$ ?

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

y'=y{\text{ mit }}y(0)=1

durch einen Potenzreihenansatz.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

y'=y^{3}-y-4t+2t^{2}{\text{ mit }}y(0)=2

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1

durch einen Potenzreihenansatz.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }={\begin{pmatrix}xt^{2}-y^{2}t\\xy\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }={\begin{pmatrix}t^{3}-yt^{2}\\tx^{2}y-\sinh t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (6 Punkte)

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 38.7 zu einem Startzeitpunkt ${}t_{0}$ , einem Startpunkt ${}P_{0}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ und einer vorgegebenen Schrittweite ${}s>0$ die approximierenden Punkte ${}P_{n}$ berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte ${}P_{n}$ für

${}t_{0}=0$ , ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ , ${}s={\frac {1}{10}}$ , ${}n=0,1,2,3,4,5,10$ .
${}t_{0}=0$ , ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ , ${}s={\frac {1}{100}}$ , ${}n=100$ .
${}t_{0}=0$ , ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ , ${}s={\frac {1}{1000}}$ , ${}n=1000$ .
${}t_{0}=0$ , ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1,001\\0,999\end{pmatrix}}$ , ${}s={\frac {1}{1000}}$ , ${}n=1000$ .
${}t_{0}=0$ , ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1,01\\0,99\end{pmatrix}}$ , ${}s={\frac {1}{1000}}$ , ${}n=1000$ .
${}t_{0}=0$ , ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1,1\\0,9\end{pmatrix}}$ , ${}s={\frac {1}{1000}}$ , ${}n=1000$ .
${}t_{0}=-3$ , ${}P_{0}={\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}}$ , ${}s={\frac {1}{10}}$ , ${}n=100$ .
${}t_{0}=0$ , ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ , ${}s={\frac {1}{1000}}$ , ${}n=1000$ .

(Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.)

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung

y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1

in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite ${}s={\frac {1}{2}}$ die Näherungspunkte ${}P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ für dieses System.